مبرهنة بال و اللعبة الكمومية

 نفترض ان هناك حكم referee يقدم سؤالين للاعبين players (راصدين observers) أليس Alice و بوب Bob.

كل سؤال هو عبارة هو بت واحد single bit يأخذ احد القيمتين 0 او 1.

اذن أليس تستقبل البت rA و جوابها هو بت واحد آخر نرمز له ب qA.

ايضا بوب يستقبل البت rB و جوابه هو بت واحد آخر نرمز به ب qB.

نفترض ان أليس و بوب موجودان فى طرفى المجرة او الكون اى انهما مفصولان-فضائيا spatially-separated بالكامل و لا يوجد اى امكانية للتأثيرات السببية المتبادلة و تبادل المعلومات.

أليس و بوب يلعبان معا و ليس ضد بعضهما البعض و يسمح لهما بالتشاور قبل بداية اللعب.

الهدف هو الربح و الربح يحققانه اذا كان ال XOR على الجوابين rA و rB يساوى ال AND على السؤالين qA و qB.

اذن اليس و بوب سوف يربحان اذا تحققت المعادلة فى الصورة الاولى.

ال XOR هى العملية الاقصاء-و-الحصر المنطقية (أو الحصرى exclusive or) التى تنص على ان القضية الكلية a+b (حيث ان + هو الجمع المباشر direct sum و ليس الجمع العادى) هى صحيحة اذا و فقط اذا كانت اما القضية a صحيحة او القضية b صحيحة. البوابة المنطقية logic gate و الجدول المنطقى logic table موجودان فى الصورة الثانية.

اما AND فهذا اسهل فهو عملية الجمع المنطقية (و and) التى تنص على ان القضية الكلية a Λ b هى صحيحة اذا و فقط اذا كانت القضيتان a و b صحيحتان معا. البوابة المنطقية و الجدول المنطقى موجودان فى الصورة الثالثة.

اذن قبل بداية اللعب يمكن ان يتشاور اليس و بوب على استراتيجية للعب تسمح لهما بالربح.

لاحظوا ان هناك سؤالان و جوابان اذن هناك 16 امكانية.

الاستراتجيات الحتمية التى يمكن ان يتفق عليها أليس و بوب قبل بداية اللعب هى اربعة فقط كما يلى:

-يتفق اليس و بوب على الاجابة ب 0 مهما كانت الاسئلة.

-يتفق اليس و بوب على الاجابة ب 1 مهما كانت الاسئلة.

-يتفق اليس و بوب على الاجابة بعكس السؤال اى اذا تلقوا السؤال 0 يجيبوا ب 1 و اذا تلقوا السؤال 1 يجيبوا ب 0.

-يتفق اليس و بوب على الاجابة بمثل السؤال اى اذا تلقوا السؤال 0 يجيبوا ب 0 و اذا تلقوا السؤال ب 1 يجيبوا ب 1.

لا توجد استراتيجية حتمية اخرى.

هناك استراتيجيات احتمالية لكن هذه الاخيرة هى عبارة عن متوسط للاستراتيجيات الحتمية و تؤدى الى نفس النتيجة.

لنفترض مثلا ان أليس و بوب اتفقا قبل اللعب على الاستراتجية الاولى. اى اتفقا على الاجابة دائما ب 0.

فى هذه الحالة فان rA=rB=0 اى ان rA+rB=0 من الجدول المنطقى فى الصورة الثانية.

هذا يعنى انه حتى يربح أليس و بوب يجب ان يكون qA Λ qB=0 و اذا تأملنا الجدول المنطقى من الصورة الثالثة نرى ان هناك ثلاثة امكانيات تؤدى الى هذه الحالة من اصل اربعة.

اذن احتمال الربح هو 3 على 4 اى 75 بالمائة.

هذه نتيجة عامة.

فى هذه اللعبة فان احتمال الربح القصوى الكلاسيكى هو دائما 75 بالمائة.

لكن لو اتفق أليس و بوب على استعمال التشابك الكمومى القصوى maximal quantum entanglement المحتوى فى حالة بال Bell's tate الموجودة فى الصورة الرابعة فان احتمال الربح سوف يتزايد الى اكثر من 85 بالمائة.

البرهان على هذه النتيجة الاخيرة يحتاج الى جهد اكبر.

هذه التجربة الفكرية تسمى (اللعبة الكمومية quantum game ل CHSH نسبة الى اصحابها) وهى فى الحقيقة تعبير عن مبرهنة CHSH التى هى الاخرى صياغة خاصة لمبرهنة بال Bell's theorem.

اذن هذه المبرهنة (مبرهنة بال) تعطى فى الحقيقة على شكل متراجحة يجب ان تحققها نظريات المتغيرات المخفية hidden variable theories التى ابتدأها اينشتاين و اصحابه فى تجربة ال EPR الشهيرة.

لكن التجربة و الطبيعة و الميكانيك الكمومى جميعا نجدهم يغصبون هذه المتراجحة بشكل قصوى وهذا يعنى ان نظريات المتغيرات المخفية غير منسجمة مع الميكانيك الكمومى و غير منسجمة مع التجربة و غير منسجمة مع الطبيعة.