لازمة شور

 لازمة شور Schur's lemma من اعظم نتائج نظرية التمثيل representation theory لزمر ليه Lie algebras.

زمرة ليه Lie algebra هى متشعب manifold يتميز بالاضافة الى خواص المتشعب بخواص الزمرة group.

وهى زمرة يمكن توليدها generated بما يسمى جبرية ليه Lie algebra.

جبرية ليه من الجهة الاخرى هى فضاء شعاعى vector space و هو الفضاء المماس tangent للزمرة عند عنصر الوحدة unit element.

عناصر جبرية ليه تسمى مولدات generators.

عن طريق اخذ اس هذه المولدات او اى تركيب خطى لهذه المولدات فاننا نحصل على جميع عناصر الزمرة. هذا يسمى التطبيق الاسى exponential map.

هذه المولدات يمكن تمثيلها represented بمؤثرات operators على فضاءات هيلبرت Hilbert spaces.

و بالتالى يمكن تمثيل عناصر جبرية ليه (وهى فضاء شعاعى) و عناصر زمرة ليه (وهى متشعب) عن طريق مؤثرات من الافضل ان تكون مصفوفات اى مؤثرات على فضاءات هيلبرت متناهية-البعد finite-dimensional.

هنا نبدأ نظرية التمثيل.

اى كيف نمثل الزمرة و عناصرها و الجبرية و عناصرها بمؤثرات على فضاءات هيلبرت مع الحفاظ على جميع الخواص الرياضية اى ان هناك ما يسمى اوتومورفيزم automorphism بين هذه الزمر و الجبريات من جهة و بين فضاءات هيلبرت التى تمثلها من الجهة الاخرى.

البداية هى لازمة شور.

نبحث فى الفضاء الشعاعى للمولدات (جبرية ليه) على ما يسمى مؤثرات كازمير Casimir operators و هى المؤثرات التى تتبادل commute مع اى تركيب خطى للمولدات.

عدد مؤثرات الكازمير هو بالضبط ما يسمى رتبة rank الزمرة التى هى بعد الجبرية-الجزئية subalgebra لجبرية ليه المسماة الجبرية-الجزئية لكارتان Cartan subalgebra.

التمثيل U(g) لأى عنصر g من الزمرة هو غير-قابل للاختزال irreducible اذا و اذا فقط اذا كان يتبادل مع جميع مؤثرات كازيمير.

لنفترض من اجل التبسيط انه لدينا مؤثر كازيمير واحد نرمز له ب C.

لأن مؤثرات كازيمر تتبادل فيما بينها فانه يمكن استقطارها diagonalized اى البحث عن قيمها-الذاتية eigenvalues ثم وضعها فى حالة قطرية diagonal form.

الفرضية هنا انه لدينا مؤثر كازيمير واحد C اذن العملية اسهل بكثير.

اذن نبحث عن القيم-الذاتية لمؤثر الكازمير C التى نرمز لها ب C_j و نضع المؤثر فى حالة قطرية.

اى عنصر آخر من الزمرة سيأخذ ايضا حالة قطرية لكن العناصر على القطر ليست هى اعداد مركبة بل هى مصفوفات تتميز بأبعاد d_j.

البعد d_j هو فى الحقيقة درجة انحلال degeneracy القيمة-الذاتية C_j لمؤثر الكازيمير C.

هذه الابعاد d_j وهذه القيم-الذاتية C_j تميز بالضبط ما يسمى التمثيلات غير-القابلة للاختزال للزمرة.

اذن كل تمثيلة غير-قابلة للاختزال او IRR اختصارا سوف يميزها عدد حقيقى هو بالضبط هذه القيمة-الذاتية C_j و بعد فضاء هيلبرت المرفق بهذه التمثيلة هو بالضبط d_j.

هذه اللازمة هى اساس كل نظرية الزمر التى هى اساس كل الميكانيك الكمومى.

مثلا السبين spin (عزم-اللف الذاتى) و الذى يرمز به ب s هو فى الحقيقة القيمة-الذاتية لمربع العزم الحركى S^2 الذى هو مؤثر كازمير الخاص بجبرية الدورانات SO(3) او الجبرية الاحادية الخاصة SU(2).

كما يعرف الجميع من الميكانيك الكمومى لدينا 2s+1 حالة كمومية مرفقة بالسبين s وهذا هو بالضبط بعد فضاء هيلبرت المرفق بالتمثيلة المميزة بالسبين s.