الفضاءات المتناظرة قصويا
الفضاءات المتناظرة قصويا maximally symmetric spaces ثلاثة فضاءات فى النسبية العامة.
و التناظر القصوى يعنى امتلاك عدد قصوى من التناظرات (انسحابات و دورانات و غيرها) على متشعب الفضاء-زمن spacetime manifold. فليس اى متشعب يمكنه ان يمتلك العدد القصوى من التناظرات لان الانحتاء سيمنعنا بصفة عامة عن هذه الخاصية الحيوية من اجل الحل الرياضى المضبوط للنظريات الفيزيائية.
فكلما كانت نظرية فيزيائية تتحلى بعدد اكبر من التناظرات كلما كان الوصول الى الحل الرياضى النهائى اكثر سهولة (مثال: نظريات التناظر الممتاز تُحل بسهولة و يسر رغم تعقيدها الشديد اما الطبيعة رغم سهولة نظرياتها الحالية فهى مع ذلك لا تقبل اى حل سهل لانها لا تتميز بأى تناظر ممتاز).
اولا نتصور فضاء بمترية لورنتزية الاشارة Lorentzian signature. اى ان الزمن يدخل باشارة مغايرة للفضاء (وهذه هى حالة نظرية الحقول الكمومية و هى النظرية الاساسية للثلاثية الطبيعية حقل-و-كمومى-و-نسبية).
فى هذه الحالة فان الفضاءات المتناظرة قصويا هى ثلاثة فضاءات.
1-فضاء ديسيتر de Sitter space و يرمز له dS^d وهو فضاء بانحناء سلمى scalar curvature موجب و هو الفضاء الذى يدخل بكثرة فى الكوسمولوجيا فمثلا الكون فى عمره الحالى تُهيمن عليه الطاقة المظلمة dark energy و كنتيجة لهذا فانه فضاء-زمن دى سيتر.
مترية metric هذا الفضاء و معادلة الغمس embedding equation الخاصة به فى عدد ابعاد d+1 تعطى بالمعادلة الاولى فى الملف.
2-فضاء-زمن مينكوفسكى Minkowski spacetime نفسه M^d وهو يتميز بانحناء سلمى معدوم. وهو يمكن النظر اليه على انه فضاء دى سيتر لما يذهب انحناءه السلمى الى الصفر.
3-فضاء ديسيتر-الضدى anti-de Sitter space و يرمز له ب AdS وهو فضاء بانحناء سلمى سالب و هو الفضاء الذى يدخل بكثرة فى الثقالة الكمومية الوترية بل هو احد وجهى الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality الاشهر المعروفة باسم التقابل AdS/CFT الذى هو تقابل يربط فى ثنائية بين فضاء AdS وهذا هو الوجه الثقالى و نظرية الحقول الكمومية CFT التى هى الوجه المعيارى.
مترية و معادلة هذا الفضاء فى عدد ابعاد d+1 تعطى بالمعادلة 2 فى الملف.
هذه هى الفضاءات المتناظرة قصويا فى الاشارة اللورنتزية.
ثانيا لكن هناك ايضا فضاءات متناظرة قصويا فى الاشارة الاقليدية Euclidean signature التى يدخل فيها الزمن بمثل اشارة الفضاء (وهذه حالة الميكانيك الاحصائى لنظرية الحقول الكمومية).
1-الكرات sphere و يرمز لها ب S^d و هى فضاء ذات انحناء سلمى موجب وهى الفضاءات التى يعتمد عليها التناظر الدورانى للفيزياء وهى تتميز بزمرة تناظر SO(d).
مترية و معادلة غمس هذا الفضاء فى عدد ابعاد d+1 تعطى بالمعادلة الثالثة فى الملف. اما مولدات generators التناظر الدورانى (وتسمى تقنيا حقول اشعة كيلينغ Killing vector fields) فتعطى بالمعادلة الرابعة.
2-الفضاء الاقليدى Euclidean space العادى R^d هو ايضا فضاء متناظر قصويا فى الاشارة الاقليدية.
3-شبه-الكرات pseudo-spheres و تسمى الفضاءات قطعية-التكافؤ hyperbolic spaces و يرمز لها ب H^d وهى فضاءات ذات انحناء سلمى سالب.
هى فضاءات شبيهة بالكرات لانها عبارة عن كرات فعلا لكن هى كرات ليست مغموسة فى الفضاء الاقليدى مثل الكرة العادية بل هى كرات مغموسة فى فضاء مينكوفسكى. اى هى جميع النقاط التى تبعد عن مركز بنفس "المسافة" لكن المسافة محسوبة بمترية مينكوسفكى.
مترية هذا الفضاء و معادلة الغمس فى عدد ابعاد d+1 تعطى فى المعادلة الخامسة من الملف.
وهى فضاءات قطعية-التكافؤ لانها تعميم للقطع المكافيء فعلا.
زمرة تناظر هذا الفضاء تعطى الآن ب SO(1,d) وهى نفسها زمرة تناظر فضاء ديسيتر dS^d و يجب مقارنتها بزمرة التناظر SO(2,d) الخاصة بفضاء ديسيتر-الضدى AdS^d.
فى بعدين هذه الفضاءت مرتبطة ببعضها البعض بشكل اكثر عضوية.
يمكننا ان نذهب من الفضاء AdS^2 الى الفضاء dS^2 و العكس عن طريق تبديل دور الزمن بالفضاء و تبديل دور الفضاء بالزمن.
فى هذه الحالة فان فضاء ديسيتر الضدى يتميز بمسارات شبيهة-بالزمن مغلقة time-like closed trajectories على عكس فضاء دىسيتر الذى يتميز بمسارات شبيهة-بالفضاء مغلقة closed space-like trajectories.
وكما تكلمنا فى مكان آخر من زاوية مختلفة جدا فان الحلقات المغلقة-سببيا يمكن جدا ان تسمح بالسفر فى الزمن و اكثر من هذا فانها يمكن جدا ان تسمح بانطباق السبب على المسبب.
ايضا فى بعدين فان dS^2 و H^2 يتميزان بنفس زمرة التناظر SO(1,2).
و يمكننا ان نذهب من dS^2 الى S^2 عن طريق تدوير وييك و يمكننا ايضا ان نذهب من AdS^2 الى H^2 عن طريق تدوير وييك.
وتذكروا فان تدوير وييك Wick rotation يسمح لنا بتحويل الميكانيك الكمومى للحقول الى ميكانيك احصائى للحقول عن طريق تدوير الزمن فى المستوى المركب complex plane بزاوية 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة و بهذا يتحول الزمن النسبى و اشارة لورنتز الى زمن اقليدى و اشارة اقليدس.
هذا التدوير هو ليس فقط حيلة رياضية بل هو محمى فيزيائيا بمبرهنات اساسية فى نظرية الحقول الاكسيوماتيكية axiomatic field theory.
مثلا فانه يمكننا ان نرجع بالاشارة الى الاشارة اللورنتزية بعد انهاء جميع الحسابات التحليلية و الحاسوبية مع ضمان اننا سنرجع فعلا الى الفيزياء النسبية-الكمومية و ليس الى وهم من اوهام الكلام.
هذا المنشور هو ترجمة للصفحة 2 من الملف ادناه.
حركة الجسم المتماسك
هذا الملف يحتوى على الجزء الاول من مشروع بيداغوجى بدأته هذه السنة هدفه اضافة موضوعين كبيرين لمادتى الميكانيك و الترموديناميك سنة ثانية فيزياء.
اذن هذا الجزء الاول الذى كتبته الفصل الماضى يعنى ب (حركة الجسم المتماسك motion of rigid body) وهدفى من وراء هذا الجزء هو ليس حركة الجسم المتماسك فى حد ذاته لكن هدفى هو التناظر الدوراني rotational symmetry الذى يحكم و يتحكم فى حركة الجسم المتماسك و المعطى بالتحويلات النقطية point transformations المعطاة بالزمرتين الشهيرتين SO(3) و SU(2).
هذا كان هو الهدف و هو هدف مهم و بخاصة ان هاتين الزمرتان تلعبان ادوار فى الفيزياء النظرية لا يمكن اختصارها فى اى منشور.
هاتان الزمرتان تشكلان معا بداية نظرية الزمر group theory و نظرية التمثيلات representation theory فى الفيزياء النظرية.
فتأتى بعدهما مباشرة زمرة لورنتز Lorentz group.
وبعد زمرة لورنتز تأتى زمرة بوانكريه Poincare group.
وبعد زمرة بوانكريه تأتى الزمرة الكونفورمال conformal group.
و بعد هذه تأتى زمرة الديفيومورفيزمات diffeomorphism group للنسبية العامة.
ثم هناك تعميم فى اتجاه آخر لزمرة بوانكريه هى الزمرة السوبر او الزمرة الممتازة وهى زمرة التناظر-الممتاز supersymmetry ثم الزمرة السوبر-كونفورمال او الكونفورمالية-الممتازة superconformal ثم زمرة السوبر-ديفيومورفيزمات او الديفيومورفيزمات-الممتازة super-diffeomorphisms.
هذه كلها زمر تناظر تخص الفضاء-زمن spacetime و تسمى تناظرات خارجية external symmetries.
لكن هناك ايضا زمر تناظر تخص فضاء-هيلبرت Hilbert space و تسمى تناظرات داخلية internal symmetries.
وهذه التناظرات الداخلية قد تكون موضعية local و قد تكون شاملة global.
واول من يظهر هنا هى الزمرة SU(2) مرة اخرى فهى زمرة معيارية gauge موضعية بالنسبة للتفاعلات الاشعاعية و هى زمرة ايزوسبين isospin شاملة بالنسبة لذوق flavor الكواركات مثلا و غير ذلك.
هذه الزمرة SU(2) هى غطاء-مضعف doubble-cover للزمرة SO(3) ولذا فهما يتشاركان فى جبرية ليه Lie algebra التى يرمز لها ب su(2).
لكن كون ال SU(2) هى غطاء-مضعف ل SO(3) يعنى ان هناك تمثيلات representations تحتويها SU(2) غير متوفرة بالنسبة ل SO(3) هى بالضبط التمثيلات السبينورية spinorial representation (ومن هنا جاء السبين spin و السبينور spinor).
اذن حركة الجسم المتماسك كما سنصفها هنا تعتمد على هاتين الزمرتين و سنجد كل خواصهما لكن الجسم المتماسك لانه جسم كلاسيكى فانه لا يحتاج الا الى التمثيلات التنسورية tensorial representations التى تشرتك فيها الزمرتان SO(3) و SU(2) اذن لا تلعب التمثيلات السبينورية اى دور فى حركة الجسم المتماسك.
هذه المحاضرة كتبتها لمادة الميكانيك السنة ثانية فيزياء لكننى لم القها عليهم خوفا من الصدمة و من الصدمة المضادة.
لكن للتأكيد هذا موضوع فى صميم الميكانيك الكلاسيكى و ليس اختراعا من عندى وهو موجود فى جميع كتب الميكانيك الكاسيكى النظرية التى تعى هندسية الميكانيك قبل حركيته.
الجزء الثانى -من مشروع هذه السنة البيداغوجى- تم تحضيره لمادة الترموديناميك السنة الثانية فيزياء و هو موضوع التحولات الطورية phase transitions و الهدف هنا مرة اخرى هو ليس الترموديناميك فى حد ذاته لكن الهدف هو استخدام الترموديناميك كوسيلة لعرض مقاربة لانداو Landau approach للتحولات الطورية وهذا شيء محورى لمن يعى اهمية التحولات الطورية بالنسبة للميكانيك الاحصائى و نظرية الحقول الكمومية و نظريات الثقالة الكمومية.
Subscribe to:
Posts (Atom)