كتب النسبية الخاصة و النسبية العامة تملؤها المعادلات الرياضية التى تحمل فيها الرموز الرياضية أدلة (جميع دليل index) بعضها علوي و بعضها سفلي.
مباشرة اقول هنا انه عند محاولة قراءة هذه المعادلات يجب تذكر ما يسمى (مصطلح اينشتاين للجمع Einstein summation convention) الذى ينص على ان الدليل المكرر repeated المضغوط contracted يجب الجمع عليه (ولن تجدون اشارة الجمع ابدا لكن الاغلبية الساحقة من هذه الادلة هى مجموع عليها ضمنيا بمصطلح اينشتاين هذا).
الدليل المكرر واضح اما الدليل المضغوط فيعنى بالضبط ان هذا الدليل يظهر فى مكان علوى ثم يظهر مكررا فى مكان سفلى.
هذه الادلة تسمى ادلة لورنتزية Lorentzian index لانها مرتبطة بزمرة لورنتز Lorentz group لتناظرات الفضاء-زمن.
الدليل العلوى يسمى دليل تغايرى-عكسى contravariant اما الدليل السفلى فيسمى دليل تغايرى-شبهى covariant.
وتذكروا فان الفضاء-زمن يعطى بما يسمى متشعب ريمانى Riemannian manifold و المتشعب manifold هو اى فضاء يشبه فى الجوار المباشر لاى نقطة منه الفضاء الاقليدى اما ريمان Riemann فهو فعلا و بدون اى مبالغة رياضى من مصاف اقليدس لا يقل عنه قيد انملة وهم جميعا اما المان او يهود او المان يهود.
اذن مبدأ التكافؤ equivalence principle للنسبية العامة ينص بكل بساطة على ان الفضاء-زمن موضعيا locally اى حول كل نقطة منه يظهر و كأنه فضاء اقليدى يحكمه مبدأ النسبية relativity principle للنسبية الخاصة.
اذن بتعبيرى الخاص جدا اقول ان (مبدأ التكافؤ ينص على ان تناظرات الفضاء-زمن تختزل موضعيا الى مبدأ النسبية).
اذن حتى نرجع الى الدليل التغايرى-العكسى (علوى) و التغايرى-الشبهى (سفلى) فاننا نقول بدون اى تأخير اضافى انهما مرتبطان على التوالى بالاشعة (جمع شعاع vector) و الهيئات (جميع هيئة form) على متشعب الفضاء-زمن.
ببساطة شديدة فان الاشعة تعرف الاشتقاق derivation على المتشعب اما الهيئات فتعرف التكامل integration على المتشعب.
لكن بصورة ادق فان متشعب الفضاء-زمن هو متشعب منحنى curved و فى كل نقطة منه يمكننا نعريف فضاء مماس tangent space هو فضاء شعاعى عادى تنتمى اليه الاشعة على المتشعب.
هذا الفضاء المماس يمكننا ان نرفق به فضاء مماس مرفق cotangent space او فضاء ثنوى dual space وهو ايضا فضاء شعاعى عادى لكن تنتمى اليه الهيئات على المتشعب.
بالنسبة لأى متشعب ريمانى مثلا الفضاء-زمن فان الفضاء المماس و الفضاء المماس المرفق هما نفس الفضاء او بصورة ادق هما فضاءان ايزومورفيك isomorphic spaces.
بالفعل
فان كل هيئة هى مرفقة بشعاع واحد و واحد فقط و هى عبارة عن تطبيق خطى
linear mapping من الفضاء المماس الى مجموعة الاعداد الحقيقية هذا التطبيق
يعطى بالضبط بالجداء السلمى scalar product فى الفضاء المماس.
اذن الدليل التغايرى-العكسى العلوى يعبر عن شعاع اما الدليل التغايرى-الشبهى فهى تعبر عن هيئة.
اما كلمة (تغايرى variance) فهى تعبر عن تناظرات الفضاء-زمن تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorentz transformations فى النسبية الخاصة و تحت تأثير الديفيومورفيزمات (جمع ديفيومورفيزم diffeomorphism) فى النسبية العامة.
فمركبات الشعاع تتحول تحت تأثير الديفيومورفيزمات عكس طريقة تحول الاشتقاق الجزئى d/dx^a بالنسبة للاحداثيات اما مركبات الهيئة المرفقة بذلك الشعاع فتتحول تحت تأثير الديفيومورفيزمات عكس طريقة تحول التفاضل التام بالنسبة للاحداثيات dx^a (تأملوا لماذا التحول "عكس" و ليس "مثل"?). انظر الصورة.
اذن الدليل التغايرى-العكسى يتحول بشكل معاكس لتحول الدليل التغايرى-الشبهى.
اشهر مثال على الاشعة هو شعاع الموضع.
وأشهر مثال على الهيئات هو الحقل المعيارى gauge field (الحقل الكهرومغناطيسى مثلا) فهذا الحقل يعبر فعلا عن هيئة و ليس عن شعاع ولو ان الفرق بينهما (فى اغلب التطبيقات) ليس بذلك الوضوح.
الاشعة و الهيئات هما اول مثال على التنسورات جمع تنسور tensor.
فالشعاع و كذا الهيئة هما تنسوران من الرتبة الاولى first rank tensor لانهما يحملان دليلا لورنتزيا واحدا.
التنسور من الرتبة صفر هو التنسور الذى لا يحمل دليل لورنتزى اصلا و هو بالضبط الدالة السلمية scalar function على متشعب الفضاء-زمن وهذا التنسور لا يتحول اصلا تحت تأثير الديفيومورفيزمات.
واشهر مثال على الدوال السلمية او السلميات scalars نذكر عنصر الحجم volume element فى الفضاء-زمن و كذا سلمية الانحناء لريتشى Ricci scalar curvature التى يرمز لها ب R و اللذان يدخلان فى فعل هيلبرت-اينشتاين Hilbert-Einstein action للنسبية العامة هذا الاخير الذى هو ايضا كمية سلمية و هو نقطة انطلاق عملية تكميم الثقالة.
والجميع يعرف اينشتاين اليهودى-الالمانى فهو صاحب النسبيتان الخاصة و العامة اما هيلبرت Hilbert فهو رياضى المانى آخر هو الآخر فى مصاف اقليدس أو ريمان بدون ادنى مبالغة.
التنسورات يمكنها ان تحمل اذن عدد كيفى من الادلة اللورنتزية سفلية او علوية و السفلى (تغايرى-شبهى) يعبر عن الفضاء المماس المرفق للمتشعب و العلوى (تغايرى-عكسى) يعبر عن الفضاء المماس للمتشعب. وهذه الادلة تشفر او تقنن لنا كيفية تحول هذه التنسورات تحت تأثير تحويلات لورنتز و تعميماتها التى هى تحويلات الديفيومورفيزمات.
اذن هى ليست فوضى ابدا و كل شيء هو بقدر.
فمثلا هناك تنسورات بدليلين و اشهرها المترية. فالمترية metric هى تنسور تناظرى من الرتبة 2 اى تحمل دليلين من النوع التغايرى-شبهى اما المترية العكسية inverse metric فهى ايضا تنسور تناظرى من الرتبة 2 يحمل دليلين من النوع التغايرى-العكسى. اما المترية الاقليدية Euclidean metric فهى تحمل دليل تغايرى-عكسى و دليل تغايرى-شبهى.
تنسور آخر تناظرى من الرتبة 2 هو تنسور الانحناء لريتشى Ricci curvature tensor الذى يؤدى تقليصه contraction بالمترية الى سلمية الانحناء لريتشى.
ومثال آخر تناظرى من الرتبة 2 هو تنسور الطاقة-زخم energy-momentum tensor الذى يعطى طاقة و زخم و ضغط المادة فى الفضاء-زمن.
اذن معادلات اينشتاين التى تربط تنسور و سلمية الانحناء و المترية فى الطرف الايمن و تنسور الطاقة-زخم فى الطرف الايسر هى معادلة تنسورية و لهذا فهى تتصرف بشكل جيد (هكذا نقول) تحت تأثير الديفيومورفيزمات التى هى التحويلات العامة للاحداثيات.
هذا التصرف الجيد لمعادلات اينتشاين تحت تأثير هذه الديفيومورفيزمات هو الذى نسمية (التغايرية covariance) تحت تأثير تحويلات الديفيومورفيزم. و التغايرية هى حفظ الشكل (تذكروا مبدأ النسبية) و هى خاصة اقل قوة من خاصة (الصمود invariance) التى هى حفظ الشكل و القيمة. ففقط الدوال السملية هى التى تتميز بالصمود (مثلا فعل هيلبرت-اينشتاين الذى ذكرناه آنفا).
هناك ايضا تنسورات مهمة جدا تحمل اكثر من دليلين.
فمثلا تنسور الانحناء لريمان Riemann curvature tensor وهو الذى يعبر فى الاصل عن انحناء الفضاء-زمن هو تنسور يحمل اربعة ادلة و هو يكتب بدلالة ما يسمى رموز كريستوفل Christoffel symbols التى تعبر عن الرابطية connection على متشعب الفضاء-زمن.
وبهذا نصل الى استثناء.
فرموز كريستوفل كما يدل اسمها هى فقط رموز و ليست تنسور وهى تعبر عن الاشتقاق على متشعب الفضاء-زمن الذى يعطى بدلالة (النقل بالتوازى parallel transport) و المشتقة التغايرية covariant derivative و هذا موضوع آخر معقد يحتاج الى نقاش لوحده.
