اللعبة الكمومية و مبرهنة بال

مبرهنة بال Bell's theorem هى مبرهنة اكتشفها جون بال فى الستينات وجون بال هو واحد من هؤلاء الفيزيائيين الذين لحقوا فعلا بمصاف نيوتن و اينتشاين و بولتزمان و بوهر لكنك لا تجد كثيرا من الناس يعرفه خارج الفيزياء النظرية و هذا لسوء حظهم و ليس لسوء حظه.

و مبرهنة بال هى مبرهنة تضع شروطا ارسطية-كانطية على الطبيعة بينت التجربة فيما بعد انها غير متحققة بالمرة و واقفت نظرية الميكانيك الكمومى التجربة و الطبيعة غاصبة بذلك مبرهنة بال غصبا قصويا maximal violation.

واؤكد من البداية ان الرجل اسمه (جول بال John Bell) و ليس (جون بيل John Bill) و (بال Bell) و (بيل Bill) ليسا نفس الاسم ابدا لمن يعرف ادنى شيء فى الثقافة الانجلوساكسونية.

اذن مبرهنة بال هى مبرهنة محيرة يصعب فهمها رغم بساطتها وهى ادت مباشرة بعد اكتشافها الى عدة تحويرات اهمها ما يسمى متراجحة CHSH نسبة الى اصحابها كلوزر Clauser و هورن Horne و شيمونى Shimony وهولت Holt.

هذه المتراجحة تحولت فيما بعد الى (لعبة كمومية quantum game) اى لعبة رهان تعتمد قواعد الميكانيك الكمومى تسمى (لعبة CHSH).

هذه اللعبة لو لُعبت بحسب قوانين الميكانيك الكلاسيكى فان اقصى احتمال للربح هو 75 بالمائة لكن لو لعبت بحسب قوانين الميكانيك الكمومى فان احتمال الربح يرتفع الى 85 بالمائة.

وهناك العاب كمومية اخرى يمكن ان يصل فيها احتمال الربح الى 100 بالمائة كاملة مثل لعبة مرمن Mermin game و مرمن وقد كنا تكلمنا عنه عدة مرات من قبل هو فيزيائى امريكى متخصص فى الفيزياء الصلبة و ليس الفيزياء النظرية مع عمق شامل فى الفيزياء الكمومية و على هذا فهو استثناء وجب التنويه به دوما.

السر فى رفع نسبة احتمال الربح فى هذه الالعاب الكمومية هو (التشابك الكمومى quantum entanglement) الذى هو اعظم الظواهر الكمومية قاطبة و اكثرها اساسية على ما يبدو.

فالتشابك الكمومى هو مثل الوحى الا انه يؤثر تأثيرا لاسببيا بين المادى و المادى فقط اما الوحى فحسب نظريات الايمان فهو يؤثر تأثيرا لاسببيا بين اللامادى و المادى.

اذن التشابك الكمومى يشترك مع الوحى فى كونه غير-سببى. فالوحى يقينا ليس عميلة سببية -عكس ما يعتقد المتكلمون- بل هو عملية تزامنية (والتزامن synchronicity هو مفهوم جونغ Jung و باولى Pauli الذى ناقشناه فى الاشهر الماضية).

بالمثل فان التشابك الكمومى هو تزامن و ليس سببية.

اى ان حالة الجملة هنا هى متشابكة كموميا مع حالة الجملة هناك هذا لا يعنى ان حالة الجملة هنا تؤثر فى حالة الجملة هناك آنيا سببيا بل هى تؤثر فيها آنيا تزامنيا لان حالة الجملة هنا و حالة الجملة هناك هما فى الحقيقة نفس الحالة و ليست حالتان مختلفتان. وهذا ابسط تفسير للتشابك الكمومى. وهو تفسير فى اعلى درجات الدقة ايضا.

الآن لنشرح اللعبة الكمومية لعبة CHSH.

هناك لاعبين أليس Alice و بوب Bob مفصولين فضائيا spatially separated (اى انه لا يوجد اى تأثير سببى بينهما اى بعبارة اخرى لا يمكن لاحدهما ان يرسل اشارة ضوئية للآخر).

تتلقى أليس سؤال عبارة عن بت كمومى quantum bit او كيوبت qbit واحد نسميه x يمكن ان يأخذ اما القيمة صفر او القيمة واحد.

ويتلقى بوب سؤال ايضا عبارة عن بت كمومى او كيوبت واحد نسميه y يمكن هو الآخر ان يأخذ القيمة صفر او القيمة واحد.

الاسئلة يتم اختيارها بشكل عشوائى بانتظام اى باحتمال يساوى 50 بالمائة للقيمة صفر و احتمال يساوى القيمة 50 بالمائة للقيمة واحد من اجل كل كيوبت.

بمصطلحات الميكانيك الكمومى فان الكيوبت هو عبارة عن عملية رصد لعزم-لف spin الكترون مثلا حيث انه اذا وجدنا عزم-اللف علوى فان البت يأخذ القيمة 1 و اذا وجدنا عزم-اللف سفلى فان البت الكمومى يأخذ القيمة 0.

تقوم أليس و يقوم بوب بالاجابة عن اسئلتها بشكل عشوائى منتظم ايضا عن طريق ارسال كيوبت للحكم.

تقوم أليس بارسال كيوبت a الى الحكم كجواب وهذا الكيوبت يمكنه هو الآخر ان ياخذ احد القيمتين صفر او واحد.

وكذا يقوم بوب بارسال كيوبت b الى الحكم كجواب و هذا الكيوبت يمكنه هو الآخر ان يأخذ احد القيمتين صفر او واحد.

الآن الحكم سيعلن ان أليس و بوب قد ربحا اللعبة اذا كان (الجمع المنطقى AND) بين السؤالين x و y يساوى (التنافى المنطقى XOR) بين الجوابين a و b. المعادلة فى الصورة الثانية.

الجمع المنطقى او ال AND بين القضيتين x و y هو صحيح فقط اذا كانت كل من القضيتين صحيحتين اى ان الكيوبت x يساوى 1 و الكيوبت y يساوى 1.

اما التنافى المنطقى exclusive OR او اختصارا XOR بين القضيتين a و b هو صحيح فقط اذا كانت القضيتان a و b متعاكستان اى اذا كانت احداهما صحيحة فان الاخرى يجب ان تكون خاطئة.

أمام أليس 4 امكانيات لان هناك سؤالين ممكنين و هناك جوابين ممكنين لكل منهما

وايضا امام بوب 4 امكانيات لنفس السبب.

اذن امام أليس و بوب 4x4 امكانية اى 16 امكانية.

لنقوم بحساب الاحتمال الكلاسيكى 75 بالمائة من اجل الاستراتجيات الحتمية اى الاستراتجيات الكلاسيكية.

اذن الجواب x/y يتعلق على السؤال a/b لكل من اللاعبين.

عندما تتلقى أليس السؤال x فانها يمكن ان تقوم باربعة اشياء مختلفة اما ان يكون الجواب a هو x نفسه او ان يكون الجواب a هو مضاد x او ان يكون الجواب a دائما يساوى 1 او ان يكون الجواب a دائما يساوى صفر. لا يوجد شيء آخر.

نفس الشيء بالنسبة الى بوب.

اقصى احتمال نحصل عليه اذا قرر كل من أليس و بوب الاجابة دائما ب 1 او الاجابة دائما ب 0 بغض النظر عن السؤال.

لنفترض ان أليس و بوب اجابا دائما ب 0. فى هذه الحالة فان ال XOR للقضيتين a و b هو دائما 0 و بالتالى فان ال AND للقضيتين x و y هو ايضا صفر وهذا يعنى ان الزوج (x,y) يمكن ان ياخذ القيم الثلاثة (0,0), (0,1) و (1,0).

اذن لدينا ثلاثة معادلات صحيحة من اصل اربعة وهذا يوافق احتمال 75 بالمائة اى 3 تقسيم 4 (انظر الجدول فى الصورة الثالثة).

هذا هو الاحتمال القصوى و نحصل عليه ايضا اذا قررت أليس و قرر بوب الاجابة دائما ب 1.

لا يمكننا تحقيق المعادلات الاربعة معا من الجدول فى الصورة الثالثة و اقصى احتمال كلاسيكى للربح هو 75 بالمائة.

هذا يعبر عليه بمتراجحة كما يلى.

-لتكن α الدالة التى تساوى احتمال الربح ناقص احتمال الخسارة.

 

-احتمال الربح دائما اقل من 3 على 4 كما راينا.

-اذن α هى محدودة من الاعلى بنصف (تحققوا شيء بسيط جدا).

-مجموع احتمالى الربح و الخسارة يساوى واحد.

-نعرف S على انه اربعة اضعاف α.

-من الواضح ان S محدودة من الاعلى ب 2. المعادلة فى الصورة الاخيرة.

هذه هى متراجحة CHSH وهى تعبير آخر عن متراجحة بال.

كما سنرى فى المستقبل ان شاء الله لعبة CHSH الكمومية لا تحقق تماما متراجحة CHSH لان الاحتمال القصوى للربح فى اللعبة الكمومية هو اكبر من 75 بالمائة و يساوى نصف + جذر 2 تقسيم اربعة اى ما يقابل حوالى 85 بالمائة.