حساب نصف قطر الكون- تمرين فى الكوسمولوجيا

 https://youtu.be/6ULOvuUwNtA

نقوم بحساب نصف قطر الكون المرصود بشكل تفصيلى فى سبعة خطوات كما يلى:

-اولا نستخدم المبدأ الكوسمولوجى cosmological principle الذى ينص على ان الكون على المسافات الكبيرة جدا يجب ان يكون متجانس homogeneous و متوحد المناحى isotropic. هذا يؤدى الى ضرورة وجود اتجاه شامل global للزمن و توريقة foliation عبر فضاءات ثلاثية متناظرة قصويا maximally symmetric للفضاء-زمن.

-ثانيا نستخدم مبدأ التناظر الكروى spherical symmetry principle الذى هو حالة خاصة من التناظر القصوى. هذا يؤدى بنا مباشرة الى ما يسمى مترية metric فريدمان Friedmann و لوماتر Lemaitre و روبرتسون Robertson و والكر Walker او مترية ال FLRW اختصارا. هذه المترية تتميز بثابت الانحناء السلمى scalar curvature و معامل السلم scale factor. المجهول الوحيد هو معامل السلم.

-ثالثا نفترض ان توزيع المادة فى الكون يعطى بما يسمى المائع المثالى perfect fluid. هذا يحدد بالكامل تنسور الضغط-و-الطاقة-و-كمية-الحركة stress-energy-momentum tensor الذى يظهر فى الطرف الايسر من معادلات اينشتاين Einstein equations.

-رابعا نعوض بمترية ال FLRW و بتنسور المائع المثالى فى معادلات اينشتاين للنسبية العامة لنحصل على معادلة فريدمان Friedmann equation التى تحدد لنا كيف يتغير معامل السلم a(t)-وهو المعامل الذى يقيس توسع الكون- بدلالة ثابت الانحناء السلمى k و كثافة المادة و الاشعاع rho/.

-خامسا من مبدأ انحفاظ الطاقة energy conservation نحدد كيف تتعلق كثافة المادة و كثافة الاشعاع و كثافة الطاقة المظلمة على الزمن عبر تعلقها بمعامل السلم اى نحدد معادلة الحالة equation of state لكل واحدة من هذه المركبات الثلاثة:
-المادة و هى تنطوى على المادة الباريونية baryonic المضيئة التى تتشكل منها اجساد النجوم و اجساد الانسان و على المادة المظلمة dark matter غير-الباريونية التى هى مظلمة لانها لا تتفاعل الا عبر قوة الجذب الثقالى,
-الاشعاع و هو كل شيء يتحرك بسرعة الضوء فذلك يتصرف بشكل مخالف عن المادة,
-و الطاقة المظلمة dark energy وهى الثابت الكوسمولوجى cosmological constant (اكبر خطأ ارتكبه اينتشاين!!!) و يُعتقد انها طاقة الفراغ الكمومى quantum vacuum ذات الضغط السالب اى تعمل كقوة ثقالة عكسية تؤدى الى التنافر لا الى التجاذب.
ومثالها التجريبى الذى نعرفه قوة كازمير Casimir force فهى طاقة فراغ كمومى و هى ذات ضغط سالب تعمل عكس الثقالة اى تؤدى الى الطفو فى حقل ثقالى (وهذا معروف تجريبيا).

-سادسا نستعمل الآن معادلة فريدمان لحساب الزمن الكونفورمالى conformal time الكلى الذى يستهلكه فوتون من اجل قطع نصف قطر الكون. الزمن الكونفورمالى هو الزمن الذى لا نأخذ فيه بعين الاعتبار ان الكون يتوسع. اذن نريد للفوتون ان يذهب من الارض الى الافق الكونى cosmic horizon اى حدود الكون المرصود مع اهمال ان الكون سيتوسع خلال هذه الفترة اى نفترض و كأن الكون لا يتوسع.
بعبارة اخرى نحن نريد ان نعرف المسافة التى يبعد بها الافق الكونى عنا الآن. هذه المسافة تساوى الزمن الكونفورمالى مضروب فى سرعة الضوء.
الزمن الكونفورمالى اللامتناهى فى الصغر يساوى بكل بساطة الزمن تقسيم معامل السلم وهو يسمى كونفورمالى لانه بكل بساطة ايضا يضع المترية فى شكلها الكونوفرمالى (الزمن الكونفورمالى و الزمن الحقيقى مرتبطان يتحويل كونفورمالى). الزمن الكونفورمالى الكلى هو اكبر بكثير من عمر الكون .

-سابعا
- نعوض القياسات الاخيرة لوسائط الكثافة density parameter التى قام بها مرصد بلانك Planck
-ثم نكامل الزمن الكونفورمالى (عدديا لان التكامل معقد نوعا ما)
-ونستعمل الشروط الابتدائية (معامل السلم الآن يساوى واحد لانه ليس لدينا انزياح-نحو-الاحمر redshift اما معامل السلم عند الانفجار الاعظم فصفر لان الانزياح-نحو-الاحمر انئذ لانهائى. العلاقة هى ان معامل السلم يساوى مقلوب الانزياح-نحو-الاحمر زائد واحد)
-ثم نضرب فى سرعة الضوء لنحصل على نصف قطر الكون وهو يسمى ايضا الافق الجسيمى particle horizon الذى هو عبارة عن مسافة ذاتية proper distance او مسافة متحركة-مع-التوسع comoving distance تفصلنا عن الافق الكونى.
الافق الكونى يحدد لنا حجم هابل Hubble volume الذى نعيش فيه وهو الاسم التقنى للكون المرصود.

النتيجة هى 46 مليار سنة ضوئية فى اى اتجاه.