محاضرات نظرية زمر ليه Lie groups و جبريات ليه Lie algebras المُولدة
لها و نظرية التمثيلات representation theory المرفقة بهما التى اخذناها
كمادة اساسية فى ديبلوما Diploma المركز الدولى للفيزياء النظرية ICTP
بتريستة بايطاليا عام 1995.
وقد اخذنا هذه المادة مع الاستاذ ناراين Narain فى الفصل الاول وهو هندى وهو فيزيائى وترى مشهور و قد كان المشرف الخاص بى فى الديبلوما ثم اخذنا نفس المادة مع الاستاذ غافا Gava فى الفصل الثانى وهو ايطالى وهو الوحيد الذى مازال موجودا اليوم فى ال ICTP من ذلك الجيل اما البقية فمن خرج الى التقاعد فقد خرج و من توفى فقد توفى.
واتذكر اننى حصلت على العلامة الكاملة بتقدير E اى ممتاز فى هذه المادة التجريدية مع الاستاذين ناراين و غافا.
نظرية الزمر تتناول الزمر الكلاسيكية الاساسية المستمرة continuous المتضامة compact منها او المركبة complexified التى اكتشفها النرويجى سوفوس ليه Sophus Lie من حوالى القرن و نصف وهى اربعة اصناف اساسية An, Bn, Cn, Dn.
والزمرة هى الاساس الرياضى لفكرة التناظر symmetry فى الفيزياء و على هذا فان هذه الزمر تلعب دورا محوريا فى فيزياء الجسيمات الاولية و الميكانيك الكمومى و نظرية الحقول الكمومية ونظرية الاوتار الممتازة.
وقد اخذنا هذه المادة مع الاستاذ ناراين Narain فى الفصل الاول وهو هندى وهو فيزيائى وترى مشهور و قد كان المشرف الخاص بى فى الديبلوما ثم اخذنا نفس المادة مع الاستاذ غافا Gava فى الفصل الثانى وهو ايطالى وهو الوحيد الذى مازال موجودا اليوم فى ال ICTP من ذلك الجيل اما البقية فمن خرج الى التقاعد فقد خرج و من توفى فقد توفى.
واتذكر اننى حصلت على العلامة الكاملة بتقدير E اى ممتاز فى هذه المادة التجريدية مع الاستاذين ناراين و غافا.
نظرية الزمر تتناول الزمر الكلاسيكية الاساسية المستمرة continuous المتضامة compact منها او المركبة complexified التى اكتشفها النرويجى سوفوس ليه Sophus Lie من حوالى القرن و نصف وهى اربعة اصناف اساسية An, Bn, Cn, Dn.
والزمرة هى الاساس الرياضى لفكرة التناظر symmetry فى الفيزياء و على هذا فان هذه الزمر تلعب دورا محوريا فى فيزياء الجسيمات الاولية و الميكانيك الكمومى و نظرية الحقول الكمومية ونظرية الاوتار الممتازة.
اما ال An فهو الزمرة الخطية الخاصة special linear ببعد
n+1 و يرمز لها ب SL(n+1,C). اذا عوضنا الاعداد المركبة C بالاعداد
الحقيقية R فاننا نحصل على الزمرة الاحادية unitary المتضامة compact التى
يرمز لها ب SU(n+1,R) وهى الزمرة التى تتحكم بجميع التناظرات المعيارية
gauge symmetries فى الطبيعة.
اما ال Cn فهو الزمرة السمبليكتية
symplectic و يرمز لها ب SP(2n,C). الزمرة المتضامة نحصل عليها بتعويض
الاعداد المركبة C بالاعداد الحقيقية R وهذه هى الزمرة التى تدخل فى
الصياغة الهاميلتونية Hamiltonian formulation فى الميكانيك الكلاسيكى و
الطريقة القانونية canonical method فى الميكانيك الكمومى.
أما ال Bn فهو الزمرة المتعامدة orthogonal ببعد فردى للفضاء 2n+1 و يرمز لها ب O(2+1,C).
أم ال Dn فهو الزمرة المتعامدة orthogonal ببعد زوجى للفضاء 2n و يرمز لها ب O(2n,C).
مرة اخرى فان هذه الزمر هى زمر مركبة غير متضامة اما الزمر الحقيقية المتضامة فنحصل عليها بتعويض الاعداد المركبة C بالاعداد الحقيقية R.
وهذه الزمر هى ربما أهم الزمر على الاطلاق فهى تدخل فى تعريف التناظرات الدورانية rotational symmetries و السبينورات spinors التى هى الحقول الرياضية على الفضاء-زمن المُرفقة بالجسيمات الاولية المادية وهى الكوراكات quarks و اللبتونات leptons الفرميونية (اى عزم لفها يساوى نصف) للنموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية.
زمرة الدورانات هى SO(3). زمرة السبين هى SU(2) وهى بالضبط الزمرة السمبليكتية SP(2).
الزمرة المعيارية gauge group للنموذج القياسى للجسيمات الاولية هى U(1)xSU(2)xSU(3) حيث يمثل U(1) التفاعلات الكهرومغناطيسية و تمثل SU(2) التفاعلات النووية الضعيفة weak للاشعاعية و تمثل SU(3) التفاعلات النووية القوية اللونية strong color.
لنلاحظ ان ال SU(2) الذى يظهر فى الدورانات و السبين ليس هو نفسه ال SU(2) الذى يظهر فى القوة المعيارية فالاول يمثل تناظر شامل global اما الثانى فيمثل تناظر موضعى local و هما مختلفان جدا بسبب هذا الامر.
الشامل يعنى انه لا يتعلق بنقاط الفضاء-زمن اما الموضعى فهو موضعى اذن هو دالة فى الفضاء-زمن.
اذن هاتان الزمرتان مختلفتان جدا رغم انهما رياضيا SU(2) وهذا بسبب علاقتهما المختلفة بالفضاء-زمن.
بل هناك زمرة SU(2) اخرى فى النموذج القياسى تختلف عن هاتين الزمرتين هى زمرة الذوق flavor group التى تعبر عن اختلاف نكهات الكوراكات من u و d وهى زمرة شاملة و ليست موضعية و اكثر من هذا فهى زمرة تقريبية لسببين اولا ال u و d لهما كتلة غير معدومة و مختلفة و السبب الثانى هناك كواركات اخرى ستة بالضبط اذن زمرة الذوق التقريبية هى فى الحقيقة SU(6).
يبقى ال SU(2) أهم زمرة على الاطلاق فى الرياضيات و الفيزياء و الطبيعة.
لنرجع فى الاخير الى بعض الخواص الرياضية العامة للزمر و الجبريات و التمثيلات.
أولا الزمرة هى متشعب manifold بخواص معينة يمكن تعويضه حول عنصر الوحدة بفضاء شعاعى vector space هو بالضبط جبرية ليه Lie algebra المُولدة للزمرة.
أم ال Dn فهو الزمرة المتعامدة orthogonal ببعد زوجى للفضاء 2n و يرمز لها ب O(2n,C).
مرة اخرى فان هذه الزمر هى زمر مركبة غير متضامة اما الزمر الحقيقية المتضامة فنحصل عليها بتعويض الاعداد المركبة C بالاعداد الحقيقية R.
وهذه الزمر هى ربما أهم الزمر على الاطلاق فهى تدخل فى تعريف التناظرات الدورانية rotational symmetries و السبينورات spinors التى هى الحقول الرياضية على الفضاء-زمن المُرفقة بالجسيمات الاولية المادية وهى الكوراكات quarks و اللبتونات leptons الفرميونية (اى عزم لفها يساوى نصف) للنموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية.
زمرة الدورانات هى SO(3). زمرة السبين هى SU(2) وهى بالضبط الزمرة السمبليكتية SP(2).
الزمرة المعيارية gauge group للنموذج القياسى للجسيمات الاولية هى U(1)xSU(2)xSU(3) حيث يمثل U(1) التفاعلات الكهرومغناطيسية و تمثل SU(2) التفاعلات النووية الضعيفة weak للاشعاعية و تمثل SU(3) التفاعلات النووية القوية اللونية strong color.
لنلاحظ ان ال SU(2) الذى يظهر فى الدورانات و السبين ليس هو نفسه ال SU(2) الذى يظهر فى القوة المعيارية فالاول يمثل تناظر شامل global اما الثانى فيمثل تناظر موضعى local و هما مختلفان جدا بسبب هذا الامر.
الشامل يعنى انه لا يتعلق بنقاط الفضاء-زمن اما الموضعى فهو موضعى اذن هو دالة فى الفضاء-زمن.
اذن هاتان الزمرتان مختلفتان جدا رغم انهما رياضيا SU(2) وهذا بسبب علاقتهما المختلفة بالفضاء-زمن.
بل هناك زمرة SU(2) اخرى فى النموذج القياسى تختلف عن هاتين الزمرتين هى زمرة الذوق flavor group التى تعبر عن اختلاف نكهات الكوراكات من u و d وهى زمرة شاملة و ليست موضعية و اكثر من هذا فهى زمرة تقريبية لسببين اولا ال u و d لهما كتلة غير معدومة و مختلفة و السبب الثانى هناك كواركات اخرى ستة بالضبط اذن زمرة الذوق التقريبية هى فى الحقيقة SU(6).
يبقى ال SU(2) أهم زمرة على الاطلاق فى الرياضيات و الفيزياء و الطبيعة.
لنرجع فى الاخير الى بعض الخواص الرياضية العامة للزمر و الجبريات و التمثيلات.
أولا الزمرة هى متشعب manifold بخواص معينة يمكن تعويضه حول عنصر الوحدة بفضاء شعاعى vector space هو بالضبط جبرية ليه Lie algebra المُولدة للزمرة.
اما التمثيلة representation فكما يدل اسمها فهى عبارة عن
الفضاءات الرياضية المصفوفية التى يمكن استعمالها لحل علاقات التبادل
الاساسية fundamental commutation relations المُعرفة لجبرية ليه.
اذن التمثيلة هى تمثيل الزمرة و الجبرية المرفقة بها على فضاء شعاعى.
عناصر الزمرة نحصل عليها باخذ التطبيق الأسى exponential map لعناصر الجبرية اى بكل بساطة الدالة الاسية فى جبرية ليه هى زمرة ليه.
وعند اخذ الدالة الاسية فاننا عمليا سنستخدم تمثيلة معينة للزمرة و جبريتها وعدد التمثيلات لانهائى.
وعلينا ان نؤكد ان نظرية التمثيلات هى اهم بكثير من نظرية الزمر نفسها بالنسبة لفيزياء الجسيمات الاولية و الميكانيك الكمومى و الحقول و الاوتار.
اذن التمثيلة هى تمثيل الزمرة و الجبرية المرفقة بها على فضاء شعاعى.
عناصر الزمرة نحصل عليها باخذ التطبيق الأسى exponential map لعناصر الجبرية اى بكل بساطة الدالة الاسية فى جبرية ليه هى زمرة ليه.
وعند اخذ الدالة الاسية فاننا عمليا سنستخدم تمثيلة معينة للزمرة و جبريتها وعدد التمثيلات لانهائى.
وعلينا ان نؤكد ان نظرية التمثيلات هى اهم بكثير من نظرية الزمر نفسها بالنسبة لفيزياء الجسيمات الاولية و الميكانيك الكمومى و الحقول و الاوتار.
هذه المحاضرات قام بتصويرها لكم الاستاذ السوفى السلفى الذى كان يزورنى الاسبوع الماضى فى المنزل لدواعى العمل و التواصل.
رائع
ReplyDelete