كيف
نصل من النسبية العامة التى هى نظرية للمتريات الى النظرية المعيارية التى
هى نظرية للرابطيات الى شبكات السبين (وكيف دخل السبين او عزم اللف الى
هذا الموضوع اصلا?) و لماذا يقال ان هذه الشبكات السبينورية تتميز بطول
اصغرى هو طول بلانك?
للتذكير فان النظرية المعيارية هى النظرية التى تصف الكهرومغناطيسية و النووية اللونية القوية و النووية الاشعاعية الضعيفة وتوحد بينهم فى النموذج القياسى للجسيمات الاولية.
اذن النسبية العامة حسب نظرية الثقالة الكمومية الحلقية هى ايضا نظرية معيارية و هذا يشبه كثيرا قول نظرية الوتر فى الثنائية الثقالية/المعيارية.
هذا هو السؤال الذى سنحاول ان نجيب عليه فى هذا المنشور الرابع و الاخير فى جولتنا السريعة حول ارجاء النسبية العامة.
هناك خمسة خطوات اساسية.
اولا علينا ان نذهب الى صياغة النسبية العامة على طريقة بالاتينى Palatini حيث ان المتغيرات الديناميكة نأخذها عبارة عن الرابطية السبينورية و الحقول الساقية و ليست المترية.
الرابطية السبينورية spin connection هى مكافئة تماما للرابطية التآلفية affine connection التى تعطى برموز كريستوفل Christoffel symbols لكنها اكثر اساسية منها لانه بدلالة الرابطة السبينورية و ليس بدلالة الرابطة التآلفية نقوم بالنقل بالتوازى parallel transport للسبينورات spinors التى تصف المادة (اى كيف تتحرك المادة فى الفضاء-زمن بشكل يحترم جميع التناظرات وهى هنا الديفيومورفيزمات diffeomorphisms فانها تتحرك بشكل يرى الرابطية السبينورية و ليس الرابطية التآلفية فهى اذن اكثر اساسية من هذا الجانب).
اما الحقول الساقية vielbein fields فهى الجذر التربيعى للمترية و هى تعطى اتجاهات المعالم العطالية فى كل نقطة من الفضاء-زمن و هى تسمى ايضا تطرادس tetrads فى اربعة ابعاد و تريادس triads فى ثلاثة ابعاد.
الخطوة الثانية و قد قام بها ايشتيكار Ashtekar هى اخذ القسم الثنوى-الذاتى self-dual part فقط للرابطية السبنيورية اى الجزء الذى يقابل السبنيورات ذات الاستقطاب اليميني right-handed (بمعنى تلك الالكترونات و الكواركات المشكلة للمادة فى الطبيعة التى تدور الى اليمين فى فضاءاتها الداخلية).
بدون هذا الشرط لا يوجد فرق بين فعل بالاتينى Palatini action و فعل هيلبرت-و-اينشتاين Hilbert-Einstein action لاننا سوف نحصل بعد تحليل ال ADM منهما على الديناميك-الهندسى geometrodynamics على طريقة ويلر Wheeler و دى-ويت Dewitt و غيرهم وهو طريق مسدود كما اقتنع الجميع اليوم.
اذن الرابطية السبينورية يجب ان تكون رابطية ثنوية-ذاتية self-dual connection و تسمى ايضا رابطية كايرال chiral connection .
الخطوة الثالثة نقوم بتحويل لوجوندر Legendre transform من اجل ايجاد الصياغة الهامليتونية للجملة الحقلية الثقالية.
هذا هو اطول جزء من الحساب لانه يتطلب اعادة كتابة فعل بالاتينى بدلالة المتغيرات الديناميكية الجديدة مع توريق الفضاء-زمن spacetime foliation مثلما فعلنا فى تحليل ال ADM.
نكتشف فى الاخير مع ايشتيكار ان المتغيرات الديناميكة الاساسية هى حقل معيارى gauge field فى الزمرة المركبة SU(2) و مرافقه conjugate الذى يلعب دور الحقل الكهربائى هو الحقل الساقى المكثف densitized vielbein field (و المكثف densitized نعنى به هنا اننا نستخرج من الحقل الساقى معامل هو بالضبط محدد المترية الثلاثية).
اذن حسب ايشتيكار فان متغيرات النسبية العامة عندما ننظر اليها على انها نظرية للرابطيات و ليس نظرية للمتريات هى متغيرات نظرية معيارية SU(2) مركبة و المركبة complex تعنى هنا ان الحقل المعيارى او الرابطية السبينورية الثنوية-الذاتية هى حقل مركب و ليس حقل حقيقى مثل رابطيات الكهرومغناطيسية و النوويتين الضعيفة و القوية.
سنكتشف ايضا فى هذا الحساب ان النظرية ستأتى بثلاثة قيود هى:
-قيد غوس Gauss constraint (وهو قانون غوس للكهرباء الذى تعرفونه و الذى سيظهر فى اى نظرية معيارية) وهو يعبر عن التناظرات المعيارية لهذه الجملة وهو مرفق بحقل غير-ديناميكى هو مركبة الرابطية فى اتجاه الزمن الشامل global time direction الذى اخترناه فى التوريق.
-قيد الديفيومورفيزمات الفضائية spatial diffeomorphism constraint الذى يعبر عن تناظرات التحويلات العامة للاحداثيات على السطوح (التى هى فى الحقيقة فضاءات ثلاثية) المشكلة لتوريق الفضاء-زمن. هذا القيد مرفق بمتغير غير-ديناميكى هو شعاع الانزياح shift vector الذى يعطينا الحركة على هذه السطوح.
-قيد الهاميلتونية Hamiltonian constraint الذى يعبر عن التطور فى الزمن بين السطوح المختلفة لتوريق الفضاء-زمن وهو مرفق بمتغير غير-ديناميكى هو دالة السقوط lapse function الذى يمثل الانزياح فى الزمن بين السطوح المختلفة.
الخطوة الرابعة الرابطية التى يحصل عليها ايشتيكار هى رابطية مركبة وهذا يعائق غير هين امام تكميم quantization الجملة الثقالية.
نقوم اذن بتحويل الزمرة المركية SU(2) الى زمرة حقيقية عن طريق تدوير ويك Wick rotation للرابطية وهنا يدخل وسيط باربيرو-و-ايميرزى Barbero-Immirizi parameter.
هذه الخطوة اكثر من ضرورية لانه بدونها فان الهولونوميات holonomies و حلقات ويلسون Wilson loops (وهى المقادير الفيزيائية للجملة المعيارية) ستكون غير-متضامة non-compact وهذا يعنى من الناحية الفيزيائية اننا لا نستطيع ان نبنى فضاء هيلبرت Hilbert space للحالات الفيزيائية لهذه الجملة الثقالية التى حولناها الى جملة معيارية مع ايشتيكار.
الخطوة الخامسة لاننا و صلنا الى نظرية معيارية حقيقية و لان زمرة التناظر المعيارى هى الزمرة SU(2) فان الاعداد الكمومية التى ستميز حالات الجملة هى اعداد عزم اللف او السبين spin ومن هنا تظهر شبكات السبين spin networks كحالات للجملة كما تنبأ بذلك بنروز Penrose فى عام 1971.
اولا سنكتشف ان فضاء التمثيلات الكمومى quantum configuration space هو ليس بالضبط الفضاء الكلاسيكى للرابطيات (لان هذه الاخيرة ليست صامدة معياريا) بل هو فضاء الهولونوميات (وهذا كله عن طريق حل قيد غوس حلا صريحا).
والهولونومية holonomy هى الطور phase الذى يتراكم على السبينور عند النقل بالتوازى بمحاذاة منحنى معين (تذكروا تأثير بوهم-أهارانوف Bohm-Aharonov effect).
وكل رابطية تعطى بمحاذاة منحنى ما هولونومية معينىة و اذا غيرنا المنحنى فاننا نحصل من اجل نفس الرابطية على هولونومية مختلفة. والهولونومية لا تتغير تحت تأثير التحويلات المعيارية التى يولدها قيد غوس الا عند نقطتى بداية و نهاية المنحنى التى هى معرفة عليه.
اذا اخذنا المنحنى مغلق و اخذنا الأثر trace فان الهولونومية تصبح صامدة معياريا gauge invariant و نحصل على ما يسمى حلقة ويلسن Wilson loop التى تعبر عن مقدار فيزيائى (يمثل القوة بين كوارك و كوارك-مضاد) يمكن رصده تجريبيا.
اذن بكل بساطة نتخلص من الرابطيات لحساب حلقات ويلسن المعرفة على حلقات تعيش فى الفضاءات الثلاثية للتوريق و من هنا جاء الاسم الثقالة الحلقية.
اذن المترية تحولت الى رابطية ثم الرابطية تحولت الى حلقات ويلسن ثم حلقات ويلسن تحولت الى حلقات و الحلقات هى ليست الا منحنيات مغلقة.
اذن هندسة الفضاء-زمن تم تشفيرها فى منحنيات (ليست منحنيات عادية لانها تحمل خواص الزمرة SU(2)) هذه الاخيرة هى بالضبط ما يسمى شبكات السبين.
وكل شبكة سبين هى حالة كمومية تنتمى الى فضاء هيلبرت للحالات التى تعيش على فضاء التمثيلات التى هى هنا الهولونوميات او الرابطيات.
اى شبكة سبين فانها ستتميز بثلاثة اشياء اساسية هى كما يلى:
-اولا منحنى graph ب N حد edge و V عقدة vertex.
-ثانيا شعاع من الأعداد نصف-الصحيحة الكمومية للسبين عددها N حيث ان كل عدد يرفق بجد من حدود المنحنى وهى تعطى تمثيلة ال SU(2) المرفقة بذلك الحد.
-ثالثا كل عقدة من المنحنى ستتميز بما يسمى مؤثر توأمى-داخلى intertwining operator. هذا المؤثر يعبر بكل بساطة عن قانون انحفاظ السبين (الذى هو عزم حركى ذاتى) فى تلك العقدة التى تصل اليها و تخرج منها عدد معين من الحدود كل حد منها يحمل قيمة معينة للسبين او عزم اللف. اذن فى المحصلة لدينا V مؤثر توأمى-داخلى يميز كل شبكة سبين.
هذه الحالات الكمومية (شبكات السبين) هى الكوانتومات الاولية elementary quata لهندسة الفضاء-الزمن وهى (سنكتشف بعد حساب اضافى) الحالات الذاتية لمؤثرى المساحة و الحجم و نجد ان قيمها الذاتية مكممة متناسبة مع l_P**2 (بالنسبة للمساحة) و l_P**3 (بالنسبة للحجم) حيث ان l_P هو ثابت بلانك.
اذن المساحات و الحجوم مكممة quantized, الفضاء-زمن مقطع discrete و هناك طول اصغرى minimal length فى الكون هو طول بلانك.
للتذكير فان النظرية المعيارية هى النظرية التى تصف الكهرومغناطيسية و النووية اللونية القوية و النووية الاشعاعية الضعيفة وتوحد بينهم فى النموذج القياسى للجسيمات الاولية.
اذن النسبية العامة حسب نظرية الثقالة الكمومية الحلقية هى ايضا نظرية معيارية و هذا يشبه كثيرا قول نظرية الوتر فى الثنائية الثقالية/المعيارية.
هذا هو السؤال الذى سنحاول ان نجيب عليه فى هذا المنشور الرابع و الاخير فى جولتنا السريعة حول ارجاء النسبية العامة.
هناك خمسة خطوات اساسية.
اولا علينا ان نذهب الى صياغة النسبية العامة على طريقة بالاتينى Palatini حيث ان المتغيرات الديناميكة نأخذها عبارة عن الرابطية السبينورية و الحقول الساقية و ليست المترية.
الرابطية السبينورية spin connection هى مكافئة تماما للرابطية التآلفية affine connection التى تعطى برموز كريستوفل Christoffel symbols لكنها اكثر اساسية منها لانه بدلالة الرابطة السبينورية و ليس بدلالة الرابطة التآلفية نقوم بالنقل بالتوازى parallel transport للسبينورات spinors التى تصف المادة (اى كيف تتحرك المادة فى الفضاء-زمن بشكل يحترم جميع التناظرات وهى هنا الديفيومورفيزمات diffeomorphisms فانها تتحرك بشكل يرى الرابطية السبينورية و ليس الرابطية التآلفية فهى اذن اكثر اساسية من هذا الجانب).
اما الحقول الساقية vielbein fields فهى الجذر التربيعى للمترية و هى تعطى اتجاهات المعالم العطالية فى كل نقطة من الفضاء-زمن و هى تسمى ايضا تطرادس tetrads فى اربعة ابعاد و تريادس triads فى ثلاثة ابعاد.
الخطوة الثانية و قد قام بها ايشتيكار Ashtekar هى اخذ القسم الثنوى-الذاتى self-dual part فقط للرابطية السبنيورية اى الجزء الذى يقابل السبنيورات ذات الاستقطاب اليميني right-handed (بمعنى تلك الالكترونات و الكواركات المشكلة للمادة فى الطبيعة التى تدور الى اليمين فى فضاءاتها الداخلية).
بدون هذا الشرط لا يوجد فرق بين فعل بالاتينى Palatini action و فعل هيلبرت-و-اينشتاين Hilbert-Einstein action لاننا سوف نحصل بعد تحليل ال ADM منهما على الديناميك-الهندسى geometrodynamics على طريقة ويلر Wheeler و دى-ويت Dewitt و غيرهم وهو طريق مسدود كما اقتنع الجميع اليوم.
اذن الرابطية السبينورية يجب ان تكون رابطية ثنوية-ذاتية self-dual connection و تسمى ايضا رابطية كايرال chiral connection .
الخطوة الثالثة نقوم بتحويل لوجوندر Legendre transform من اجل ايجاد الصياغة الهامليتونية للجملة الحقلية الثقالية.
هذا هو اطول جزء من الحساب لانه يتطلب اعادة كتابة فعل بالاتينى بدلالة المتغيرات الديناميكية الجديدة مع توريق الفضاء-زمن spacetime foliation مثلما فعلنا فى تحليل ال ADM.
نكتشف فى الاخير مع ايشتيكار ان المتغيرات الديناميكة الاساسية هى حقل معيارى gauge field فى الزمرة المركبة SU(2) و مرافقه conjugate الذى يلعب دور الحقل الكهربائى هو الحقل الساقى المكثف densitized vielbein field (و المكثف densitized نعنى به هنا اننا نستخرج من الحقل الساقى معامل هو بالضبط محدد المترية الثلاثية).
اذن حسب ايشتيكار فان متغيرات النسبية العامة عندما ننظر اليها على انها نظرية للرابطيات و ليس نظرية للمتريات هى متغيرات نظرية معيارية SU(2) مركبة و المركبة complex تعنى هنا ان الحقل المعيارى او الرابطية السبينورية الثنوية-الذاتية هى حقل مركب و ليس حقل حقيقى مثل رابطيات الكهرومغناطيسية و النوويتين الضعيفة و القوية.
سنكتشف ايضا فى هذا الحساب ان النظرية ستأتى بثلاثة قيود هى:
-قيد غوس Gauss constraint (وهو قانون غوس للكهرباء الذى تعرفونه و الذى سيظهر فى اى نظرية معيارية) وهو يعبر عن التناظرات المعيارية لهذه الجملة وهو مرفق بحقل غير-ديناميكى هو مركبة الرابطية فى اتجاه الزمن الشامل global time direction الذى اخترناه فى التوريق.
-قيد الديفيومورفيزمات الفضائية spatial diffeomorphism constraint الذى يعبر عن تناظرات التحويلات العامة للاحداثيات على السطوح (التى هى فى الحقيقة فضاءات ثلاثية) المشكلة لتوريق الفضاء-زمن. هذا القيد مرفق بمتغير غير-ديناميكى هو شعاع الانزياح shift vector الذى يعطينا الحركة على هذه السطوح.
-قيد الهاميلتونية Hamiltonian constraint الذى يعبر عن التطور فى الزمن بين السطوح المختلفة لتوريق الفضاء-زمن وهو مرفق بمتغير غير-ديناميكى هو دالة السقوط lapse function الذى يمثل الانزياح فى الزمن بين السطوح المختلفة.
الخطوة الرابعة الرابطية التى يحصل عليها ايشتيكار هى رابطية مركبة وهذا يعائق غير هين امام تكميم quantization الجملة الثقالية.
نقوم اذن بتحويل الزمرة المركية SU(2) الى زمرة حقيقية عن طريق تدوير ويك Wick rotation للرابطية وهنا يدخل وسيط باربيرو-و-ايميرزى Barbero-Immirizi parameter.
هذه الخطوة اكثر من ضرورية لانه بدونها فان الهولونوميات holonomies و حلقات ويلسون Wilson loops (وهى المقادير الفيزيائية للجملة المعيارية) ستكون غير-متضامة non-compact وهذا يعنى من الناحية الفيزيائية اننا لا نستطيع ان نبنى فضاء هيلبرت Hilbert space للحالات الفيزيائية لهذه الجملة الثقالية التى حولناها الى جملة معيارية مع ايشتيكار.
الخطوة الخامسة لاننا و صلنا الى نظرية معيارية حقيقية و لان زمرة التناظر المعيارى هى الزمرة SU(2) فان الاعداد الكمومية التى ستميز حالات الجملة هى اعداد عزم اللف او السبين spin ومن هنا تظهر شبكات السبين spin networks كحالات للجملة كما تنبأ بذلك بنروز Penrose فى عام 1971.
اولا سنكتشف ان فضاء التمثيلات الكمومى quantum configuration space هو ليس بالضبط الفضاء الكلاسيكى للرابطيات (لان هذه الاخيرة ليست صامدة معياريا) بل هو فضاء الهولونوميات (وهذا كله عن طريق حل قيد غوس حلا صريحا).
والهولونومية holonomy هى الطور phase الذى يتراكم على السبينور عند النقل بالتوازى بمحاذاة منحنى معين (تذكروا تأثير بوهم-أهارانوف Bohm-Aharonov effect).
وكل رابطية تعطى بمحاذاة منحنى ما هولونومية معينىة و اذا غيرنا المنحنى فاننا نحصل من اجل نفس الرابطية على هولونومية مختلفة. والهولونومية لا تتغير تحت تأثير التحويلات المعيارية التى يولدها قيد غوس الا عند نقطتى بداية و نهاية المنحنى التى هى معرفة عليه.
اذا اخذنا المنحنى مغلق و اخذنا الأثر trace فان الهولونومية تصبح صامدة معياريا gauge invariant و نحصل على ما يسمى حلقة ويلسن Wilson loop التى تعبر عن مقدار فيزيائى (يمثل القوة بين كوارك و كوارك-مضاد) يمكن رصده تجريبيا.
اذن بكل بساطة نتخلص من الرابطيات لحساب حلقات ويلسن المعرفة على حلقات تعيش فى الفضاءات الثلاثية للتوريق و من هنا جاء الاسم الثقالة الحلقية.
اذن المترية تحولت الى رابطية ثم الرابطية تحولت الى حلقات ويلسن ثم حلقات ويلسن تحولت الى حلقات و الحلقات هى ليست الا منحنيات مغلقة.
اذن هندسة الفضاء-زمن تم تشفيرها فى منحنيات (ليست منحنيات عادية لانها تحمل خواص الزمرة SU(2)) هذه الاخيرة هى بالضبط ما يسمى شبكات السبين.
وكل شبكة سبين هى حالة كمومية تنتمى الى فضاء هيلبرت للحالات التى تعيش على فضاء التمثيلات التى هى هنا الهولونوميات او الرابطيات.
اى شبكة سبين فانها ستتميز بثلاثة اشياء اساسية هى كما يلى:
-اولا منحنى graph ب N حد edge و V عقدة vertex.
-ثانيا شعاع من الأعداد نصف-الصحيحة الكمومية للسبين عددها N حيث ان كل عدد يرفق بجد من حدود المنحنى وهى تعطى تمثيلة ال SU(2) المرفقة بذلك الحد.
-ثالثا كل عقدة من المنحنى ستتميز بما يسمى مؤثر توأمى-داخلى intertwining operator. هذا المؤثر يعبر بكل بساطة عن قانون انحفاظ السبين (الذى هو عزم حركى ذاتى) فى تلك العقدة التى تصل اليها و تخرج منها عدد معين من الحدود كل حد منها يحمل قيمة معينة للسبين او عزم اللف. اذن فى المحصلة لدينا V مؤثر توأمى-داخلى يميز كل شبكة سبين.
هذه الحالات الكمومية (شبكات السبين) هى الكوانتومات الاولية elementary quata لهندسة الفضاء-الزمن وهى (سنكتشف بعد حساب اضافى) الحالات الذاتية لمؤثرى المساحة و الحجم و نجد ان قيمها الذاتية مكممة متناسبة مع l_P**2 (بالنسبة للمساحة) و l_P**3 (بالنسبة للحجم) حيث ان l_P هو ثابت بلانك.
اذن المساحات و الحجوم مكممة quantized, الفضاء-زمن مقطع discrete و هناك طول اصغرى minimal length فى الكون هو طول بلانك.
badisydri.blogspot.com
This
is the fourth post of a series of four posts (plus a fifth post of
exercises) concerned with the canonical quantization of general r...
This
is the fourth post of a series of four posts (plus a fifth post of
exercises) concerned with the canonical quantization of general r...
No comments:
Post a Comment