جواب على سؤال

\begin{eqnarray}
\tilde{v}^{\mu}(x+\Delta x)=v^{\mu}(x)~,~{\rm Flat}.
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\tilde{v}^{\mu}(x+\Delta x)+\Delta x^{\rho}\Gamma_{\rho\sigma}^{\mu}\tilde{v}^{\sigma}=v^{\mu}(x),~{\rm Curved}.
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\tilde{v}^{\mu}(x+\Delta x)=v^{\mu}(x)-\Delta x^{\rho}\Gamma_{\rho\sigma}^{\mu}v^{\sigma}\iff \tilde{v}^{\mu}(x)+\Delta x^{\rho}\nabla_{\rho}\tilde{v}^{\mu}(x)=v^{\mu}(x).
\end{eqnarray}

Under the variation of the dynamical variable which is here the metric $g_{\mu\nu}\longrightarrow g_{\mu\nu}+\delta g_{\mu\nu}$ we obtain the variation of the action:
\begin{eqnarray}
\delta S_{\rm HE}
&=&\int d^4 x \sqrt{-{\rm det} g}~\delta g^{\mu\nu}(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R).
\end{eqnarray}
The principle of least action $\delta S_{\rm HE}=0$ gives immediately Einstein's equations (in vacuum) as Euler-Lagrange equations of motion for the metric:
\begin{eqnarray}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0.
\end{eqnarray}
Inclusion of matter fields will lead to Einstein's equations with a non-vanishing energy-momentum tensor $T_{\mu\nu}$, viz
\begin{eqnarray}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi G T_{\mu\nu}.
\end{eqnarray}

Parallel transport and covariant derivative: \begin{eqnarray} \oint \partial_{\alpha}V^{\mu}\neq 0. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \oint \nabla_{\alpha}V^{\mu}=0. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} x^{\mu}\longrightarrow x^{\prime\mu}~:~\nabla_{\alpha}V^{\mu}\longrightarrow \nabla_{\alpha}^{\prime}V^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\prime\alpha}}\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}}\nabla_{\beta}V^{\nu}.
\end{eqnarray} \begin{eqnarray} \nabla_{\mu}V^{\nu}=\partial_{\mu}V^{\nu}+\Gamma_{\alpha\mu}^{\nu}V^{\alpha}. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \nabla_{\mu}\omega_{\nu}=\partial_{\mu}\omega_{\nu}-\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}\omega_{\alpha}. \end{eqnarray} Metric is covariantly constant and the affine connection (Christoffel symbols): \begin{eqnarray} &&\nabla_{\mu}g_{\alpha\beta}=0=\partial_{\mu}g_{\alpha\beta}-\Gamma_{\mu\alpha}^{\rho}g_{\rho\beta}-\Gamma_{\mu\beta}^{\rho}g_{\alpha\rho}=0\nonumber\\ &&\Rightarrow \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}=\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\big(\partial_{\mu}g_{\nu\beta}+\partial_{\nu}g_{\mu\beta}-\partial_{\beta}g_{\mu\nu}\big). \end{eqnarray}

Scalars:
\begin{eqnarray}
f \longrightarrow f^{\prime}=f.
\end{eqnarray}
Vectors: 
\begin{eqnarray}
S_HE{\mu}\longrightarrow V^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^{\nu}}V^{\nu}.
 \end{eqnarray}
One-forms (dual vectors):
\begin{eqnarray}
\omega_{\mu}\longrightarrow \omega^{\prime}_{\mu}=\frac{\partial x^{\prime}_{\mu}}{\partial x_{\nu}}\omega_{\nu}.
 \end{eqnarray}




شكرًا على هذا الطرح الرائع، لديَّ عدّة اسئلة بروف يدري.

1- ما هو مفهوم الزمكان من خلال الأوتار الفائقة؟
2- اذا كانت الأوتار تصنّع كل شيء بذبذباتها، فهل تصنع المكان؟ و إن كانت كذلك، فهل الوتر الواحد يصنع مكانه، أم كيف؟
3- من خلال نظرية الوتر الفائق و محاول تكميم القوى الأربعة، نعلم ان الفوتونات هي تكم للقوى الكهرطيسية مثلما ان الكرافيتونات هي تكميم لقوى الجاذبية..
الفوتون الواحد يستجيب للشحنة الكهربائية وهو بنفسه غير مشحون، و الكرافيتونات لا تستجيب للشحنة الكهربائية بينما تستجيب للطاقة و الكُتلة.. و يحمل كل كرافيتون طاقة لذلك يستجيب كل كرافيتونين لبعضهما و يؤثّران على بعضيهما:
أ- كيف لا يحصل انهيار للمكان من خلال تجاذب كل الكرافيتونات مع بعضها البعض و جعل الكون كله عبارة عن ثقب اسود؟
ب- اذا كان كل كرافيتون له طاقة، فهذا يعني ان له مجال، و تكميم مجال كل كرافيتون هو كرافيتون أخر، وهذا يضعنا في دوامة أن كل كرافيتون ام يصنع مليارات من الكرافيتونات البنات بشكل طولي، فلماذا لا يكون هنالك انهيار، بسبب التجاذب الذي تشكّله الكتلة الكلية لكل تلك الكرافيتونات المُتكدّسة على بعضها؟
4- ماذا يعني ان الفوتونات تخضع لإعادة الإستنظام بينما الكرافيتونات لا تفعل ذلك؟
5- هل تخضع موجات الجاذبية لتأثير دوبلر؟؟؟
مع كل الشكر و التقدير لحضرتك بروف.