الصياغة الهاميلتونية ال ADM للنسبية العامة

النسبية العامة هى من اعظم الانجازات لن اقول الفيزيائية و لن اقول العلمية بل هى احد اعظم الانجازات الانسانية على الاطلاق.
ولهذا فان اينشتاين هو اينتشاين و ليس يؤثر فى انجازه لا يهوديته و لا تعاطفه مع الصهيونية او غيرها من الاشياء الاخرى فهو فعلا انجز شيئا يفوق الطاقة الانسانية (فمقارنته بغيره هو فعلا من باب تحميل ما لا يطاق لغيره).
و لم ينجز اى شخص آخر افضل من هذا الانجاز الا نيوتن عندما اخرج قوانين الميكانيك و الحركة و القوة فى قالب رياضى من العدم الى الوجود.
فنيوتن يتساوى مع اينتشاين فى اكتشافه لقوانين اساسية للكون من دون اى تحضير فيزيائى و لا رياضى مسبق من غيره.
لكن نيوتن يفوق اينشتاين فى انه ايضا اكتشف الرياضيات الضرورية لاخراج تلك القوانين الطبيعية فى فالب قوانين فيزيائية (مصطلحات هيوم) وهى الحساب التحليلى اما اينتشاين فهو لم يكتشف رياضيات جديدة لكنه اكتشف اهمية رياضيات معينة بالنسبة للفيزياء (الهندسة التفاضلية) التى كان قد كان اكتشفها الرياضيون من قبل و لم يكن يعلم بها الفيزيائيون اصلا حتى نبههم اينتشاين الى ذلك.
لهذا فان نيوتن (المسيحى الموحد) و فقط نيوتن يفوق اينتشاين (اليهودى السبينوزى) فى الانجاز.
فاينشتاين مثل الشاعر غير المسبوق بنسبيته العامة الذى اتقن لغة غير قومه من اجل كتابة شعره اما نيوتن فهو شاعر غير مسبوق كتب شعره بلغة غير مسبوقة اكتشفها او وضعها شخصيا من اجل ذلك الغرض.
اذن النسبية العامة هى اليوم ثانى اهم بناء نظرى تقوم عليه الفيزياء الاساسية بعد الميكانيك الكمومى.
وهى بكل بساطة تنص على ان قوة الثقالة (كما وصفها نيوتن) هى ليست الا هندسة الفضاء-زمن (وهذا هو وصف اينتشاين).
واهم صراعات و مشاكل الفيزياء النظرية منذ عقود طويلة تقوم على محاولة التوفيق بين قوانين الميكانيك الكمومى و قوانين النسبية العامة فى نظرية واحدة هى نظرية كل شيء او نظرية الثقالة الكمومية.
واحد اهم اسباب التناقض بين الميكانيك الكمومى و النسبية العامة هو ما يسمى معضلة الزمن.
فالزمن شيء مختلف جدا فى النظريتين.
فالميكانيك الكمومى يستخدم الزمن كوسيط تتطور بالنسبة اليه المقادير الفيزيائية.
مثلا فان الموضع الذى هو مقدار فيزيائى يتغير او يتطور فى الزمن. و ايضا فان فى الميكانيك الكمومى اهم كمية على الاطلاق هى حالة الجملة او دالة الموجة التى تخضع الى معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى فى الزمن هى معادلة شرودينغر.
اما الزمن فى النسبية العامة فهو ديناميكى يدخل على قدم المساواة مع الفضاء اى الموضع ولهذا فان معادلة شرودينغر فى هذه الحالة (التى هى معادلة ويلر دى ويت Wheeler-DeWitt equation) حدها الايمن (او الايسر) هو صفر لانه ليس هناك وسيط للزمن بالمعنى المعتاد نأخذ التفاضل بالنسبة اليه.
لكن من هو الاكثر اساسية النسبية العامة ام الميكانيك الكمومى?
اولا علينا ان نؤكد ان كليهما محقق تجريبيا الى اقصى الحدود لكن الجميع يجمع ضمنيا او صراحة على ان الميكانيك الكمومى هو الاكثر اساسية.
فهناك عدة نظريات للثقالة الكمومية أكبرها هى نظرية الاوتار الممتازة وهى يسيطر عليها فيزيائيون بميول نحو فيزياء الجسيمات ميول شخصية و تاريخية و تكوينية وهؤلاء لا نقاش عندهم ان الكمومى اكثر اساسية من النسبية العامة.
اما ثانى اكبر نظريات الثقالة الكمومية اليوم وهى نظرية الثقالة الحلقية فيسيطر عليها فيزيائيون بميول نسبوية (اى من درسوا النسبية العامة كتخصص و ليس فيزياء الجسيمات الاولية) وهؤلاء ايضا يعتقدون ضمنا لا تصريحا ان الكمومى اكثر اساسية من النسبية العامة و اكبر دليل على ذلك هو تزعمهم لفترة تزيد الآن على ال 60 عاما لبرنامج او مشروع التكميم القانونى للنسبية العامة بكل تفانى و احتهاد وعدم ملل.
و التكميم القانونى يعنى ادخال النسبية العامة تحت مظلة الميكانيك الكمومى.
اول خطوة فى هذا المشروع قام بها ارنوئيط Arnowitt, ديزر Deser و ميسنر Misner فى عام 1959 حيث قدموا الصياغة الهاميلتونية للنسبية العامة (التى تعرف اليوم باسم صياغة ال ADM).
تذكروا ان الفضاء-زمن هو متشعب manifold نرمز له M بمترية لورنتزية Lorentzian metric نرمزله لها g تسمح لنا بقياس و حسابات المسافات و الابعاد و الزوايا.
هذه المترية نحسب من اجلها رموز كريستوفل Christoffel symbols التى تعرف رابطية لفى-سفيطا Levi-Civita connection و هذه الاخيرة هى التى تدخل فى تعريف تنسور الانحناء لريمان Riemann curvature tensor الذى هو الحد الايسر (الايمن) لمعادلة اينشتاين.
الآن فى صياغة ال ADM نقوم بتوريق foliation للفضاء-زمن اى اختيار اتجاه معين n للزمن و اختيار الفضاءات الثلاثية العمودية لهذا الاتجاه كاوراق تعيش عليها النظرية.
اذن كل ورقة هى فضاء ثلاثى منحنى يتميز بمترية ثلاثية نرمز اليها q و هذه الورقة تتطور فى الزمن (اى تتحرك) فى اتجاه التوريق الزمنى.
العناصر الاخرى للمترية الرباعية تتحول الى ما يسمى دالة السقطة lapse shift و نرمز لها ب N (وهوالعنصر 00 من المترية g) و شعاع الانزياح shift vector (وهو العنصر 0i من المترية g).
اما العناصر ij من المترية الرباعية g فهى بالضبط المترية الثلاثية q.
انظر الصورة الثانية من اجل مترية ال ADM.
دالة السقطة و شعاع الانزياح كما اكتشف ثلاثى ال ADM هى ليست متغيرات ديناميكية مستقلة بل هى مضروبات لاغرانج Lagrange multipliers اى ان معادلات الحركة المرفقة بها هى قيود constraints و ليست معادلات ديناميكية (هنا الفعل الذى ننطلق منه هو فعل هيلبرت-اينشتاين Hilbert-Einstein action).
القيد يعنى بكل بساطة معادلة تربط بين المتغيرات لا تحتوى على تفاضل فى الزمن اذن هى شرط على تلك المتغيرات اذا كان متحققا فى لحظة ما سيكون متحققا فى لحظة اخرى.
هذه القيود هى قيود صنف اول first class constraints حسب تصنيف ديراك وهى نوعان:
-قيد شعاعى (يأتى من شعاع الانزياح) مرفق بالتوحيلات النقطية المسماة الديفيومورفيزمات diffeomorphisms التى تحركنا على كل ورقة فى توريق الفضاء-زمن. اذن هذا القيد يسمى قيد الديفيومورفيزمات diffeomorphism constraint.
-قيد سلمى (يأتى من دالة السقطة) مرفق بالتحويلات النقطية التى تحركنا من ورقة الى اخرى اى تسمح لنا بالتطور فى الزمن. وهو يسمى قيد الهاميلتونية Hamiltonian constraint لانه بكل بساطة هذا القيد هو الذى يلعب دور الهاميلتونية Hamiltonian فى هذه النظرية (وتذكروا الهامليتونية هى ما يلعب دور الطاقة الكلية).
تكميم هذه الجملة الديناميكية قام به دى ويت DeWItt فى الستينات حيث تحصل من بين ما تحصل عليه على معادلة ويلر - دى ويت التى ذكرناها آنفا وهى بالضبط قيد الهاميلتونية بعد التكميم.
لكن هذه المعادلة تعانى من مشاكل رياضية كثيرة جدا و عويصة جدا على رأسها التباعد divergences اى عدم التعريف الرياضى فوصل هذا البرنامج بذلك الى طريق مسدود حتى جاء ايشتيكار Ashetekar فى الثمانينات و اكتشف متغيرات جديدة (اصبحت تسمى متغيرات ايشتيكار Ashetekar variables) هى التى تشكل اليوم نقطة انطلاق التكميم القانونى للثقالة الكمومية الذى يعرف باسم الثقالة الكمومية الحلقية loop quantum gravity.
لكن هذه قصة اخرى تاريخية و فيزيائية نتركها لفرصة اخرى ان شاء الله ربما على اليوتوب.