نظرية الثقالة الكمومية الحلقية او LQG

فى الصورة تصور فنى للفضاء-زمن كما يظهر على المسافات الكمومية القصيرة جدا لطول بلانك Planck length وهذا كما تحسبه نظرية الثقالة الكمومية الحلقية loop quantum gravity او اختصارا LQG (وهى المقترح الثانى فى هذا المجال بعد نظرية الاوتار الممتازة).
هذه الصورة ترجع الى توماس ثيمان thomas thiemann وهو فيزيائى المانى قام تقريبا بمفرده مع تلاميذه (فهو مدرسة لوحده) بترسيخ قدم الثقالة الكمومية الحلقية من الناحية الرياضية الصارمة.
يُتصور الفضاء-زمن فى هذه النظرية على انه شبكة من السبينات (مفرد سبين spin اى عزم لف) حيث ان كل عقدة node تمثل حجم معين متشكل من اسطح او اوجه faces و كل خط فى الشبكة (شبكة السبينات) يمثل وجه من وجوه هذا الحجم (الوجه العمودى لهذا الخط) اما القيم العددية لهذه الحجوم و لمساحات هذه الاسطح و الاوجه فهى التى تعطى بدلالة قيم عزم اللف او السبين وهى الممثلة بالالوان فى الصورة.
اللون الاحمر يعنى قيم عددية صغيرة للحجوم و المساحات اما اللون البنفسجى فهى تمثل قيم عددية كبيرة.
اللون الاسود يعنى انه ليس هناك اصلا فضاء-زمن هناك فذلك هو فعلا اللاشيء.
نظرية الثقالة الكمومية الحلقية ل (اشتكار ashtekar و سمولين smolin و روفيلى roveli و ثيمان وهو ادقهم) هى نظرية منافسة لنظرية الوتر تقوم على اساسين متينين للنسبية العامة لاينشتيان هما:
اولا الاستقلال عن الخلفية background independence (اى انها لا تفترض اى فضاء-زمن من اى نوع بل هى نظرية تبحث عن ماهية الفضاء-زمن و لا تفترضه كغيرها من النظريات و تحقيق هذا الاستقلال عن الخلفية هو عقدة لنظرية الوتر نفسها مازالت تصارع من اجل تحقيقها).
ثانيا الصمود تحت تأثير الديمورفيزمات diffeomorphism invariance (وهذا يعنى انها نظرية متناظرة بالكامل تحت تأثير جميع التحويلات النقطية للنسبية العامة مثل الانسحابات و الدورانات و غيرها).
أهم نتائج نظرية الثقالة الكمومية هو تكميم الفضاء و الزمن وهذا شيء تتفق فيه جميع نظريات الثقالة الكمومية بدون استثناء.
اذن الفضاء اى المكان و الزمن اى الوقت هما غير مستمران بل متقطعان متشكلان من كمات quanta مثلما ان المادة مشكلة من كمات و الاشعاع مشكل من كمات (اذن الميكانيك الكومى هو سيد الجميع و هو وصف الواقع كما يقول الجميع ممن يعتد بهم دائما).
لكن اهم مشكلتين تعانى منهما نظرية الثقالة الكمومية هما:
- اولا غياب اى نهاية كلاسيكية semi-classical limit واضحة. بمعنى انه لا نعرف ما اذا كانت هذه النظرية تنتهى لما يذهب ثابت بلانك الى الصفر الى النهاية الكلاسيكية المعطاة بنسبية اينشتاين ام انها تنتهى الى شيء آخر.
-ثانيا عدم انسجامها مع النسبية الخاصة. فمثلا هى تتوقع ان الضوء الصادر من منبع معين (مثلا منابع غاما بورست gamma burst البعيدة جدا عنا لكن المنيرة جدا انارة منافسة لانارة الانفجار الاكبر نفسه) اذن الضوء الضادر عن هذه المنابع البعيدة جدا بتواترات مختلفة (اى الوان مختلفة) سينتشر فى الفضاء-زمن الكمومى (المعطى بنظرية الثقالة الكمومية الحلقية) بسرعات مختلفة.
لكن هذا توقع لم يتم التحقق منه فى آخر عمليات الرصد الفلكية مما يضع تحدى هائل امام نظرية الثقالة الحلقية مثل التحدى الذى وضعه عدم اكتشاف الجسيمات الممتازة فى آخر تجارب المسرعات امام نظرية الوتر.
نظرية الثقالة الحلقية لا تحتاج الى التناظر الممتاز supersymmetry و لا الى الابعاد الاضافية extra dimensions و كان نظارها (سمولين و روفيلى بالخصوص) بعتبرونه عيبا فى نظرية الوتر لكن جاء المنظر الادق ثيمان و اصاف التناظر الممتاز و الابعاد الاضافية (بالاضافة الى المادة و الاشعاع و تفاعلاتهما) الى نظرية الثقالة الكمومية الحلقية.
هذا منشور اردت كتابته لليوتوب و لو فعلت لكان استهلك اكثر بكثير من الساعة التى استهلكها لكتابته على الفايسبوك. لكن يبقى هو تحضير لمنشور اليوتوب ان شاء الله فترقبوه ان شاء الله و دعمونا بتفاعلاتكم هنا و هناك.

تناقض اخيل و طول بلانك

اولا رمضان مبارك و كل عام و انتم بخير.
تناقض اخيل للفيلسوف اليونانى الفذ زينون.
أخيل عليه كل مرة ان يقطع قطعة مستقيمة طولها هو نصف المسافة المتبقية حتى يلتحق بالسلحفاة (انظر المدونة من اجل الشرح المستفيض) وهذا الامر سيستمر عدد مالانهائى من المرات و هذا يستحيل ان يكون حسب زينون لانه يتطلب زمن مالانهائى و عمر الكون نفسه منتهى (هناك علاقة وثيقة بالزمن هنا).
الحل المعيارى الذى تقدمه الفلسفة الحديثة اعتمادا على الميكانيك الكلاسيكى و التحليل الرياضى.
الميكانيك الكلاسيكى يقدم الحل بأخذ تقاطع مسارى اخيل و السلحفاة.
التحليل الرياضى يؤكد هذا الحل لان المسألة من الناحية الرياضية هى متتالية هندسية اساسها نصف اذن هى متتالية متقاربة مطلقا حسبها كوشى منذ قرنين.
اذن الحل المعيارى يؤكد ان اخيل سيقطع فعلا عدد مالانهائى من القطع المستقيمة قبل ان يلتحق بالسلحفاة لكن الزمن منتهى لان الزمن فى كل قطعة سيكون اقصر كما يؤكد الميكانيك.
لكن المعضلة لم تُحل فعلا لان المسألة (كيف لاخيل ان يقطع عدد مالانهائى من القطع المستقيمة قبل ان يلتحق بالسلحفاة) لم تُحل.
اعتراض ارسطو على زينون و على الحل المعيارى يؤكد ان المعضلة ليست بمعضلة حقيقة لانها تنطوى على المالانهاية الكامنة و ليس على المالانهاية الحقيقية.
هنا أدعم ارسطو (التفصيل الحسابى على المدونة) باستعمال أهم شيء فى الثقالة الكمومية وهو وجود طول اصغرى فى الكون هو طول بلانك (وهذا مجمع عليه من جميع الفيزيائيين النظريين).
اذن المسافة بين أخيل و السلحفاة لا يمكن ابدا ان تتناهى الى الصفر حقيقة لان هناك مسافة اصغرية هى طول بلانك الذى تنهار عنده الهندسة الريمانية للفضاء-زمن و تصبح النقاط ليس لها اى معنى عملى او فيزيائى او رياضى.
الميكانيك الكمومى فى صيغة مبدأ الارتياب لهايزنبرغ ينص على اننا لو اردنا تعيين المسافة بين أخيل و السلحفاة (او اى شيئين آخرين) بدقة معينة فاننا سنؤدى الى تحويل كمية هائلة من الطاقة الى المنطقة التى نريد سبر أغوارها مما يؤدى (حسب النسبية العامة لاينتشاين) الى تخلق ثقب اسود (بافق حدث) يمنع اى ضوء يرد الى تلك المنطقة من الرجوع الى الراصد و بالتالى العجز المبدأى (و ليس العملى) عن تحديد المسافة (انظر المرجع على المدونة للتفصيل الرياضى).
هذا كله اذا صغرت المسافة تحت حد معين يتم حسابه و هو يعطى بطول بلانك.
اذن المسافة بين اخيل و السلحفاة هى محدودة من الاسفل بطول بلانك (وليس بالصفر) مما يؤدى الى وجود عدد قصوى من القطع المستقيمة التى يجب على اخيل ان يقطعها قبل ان يصبح التساؤل عن المسافة بينه و بين السلحفاة لا جواب له.
هذا العدد (لنسميه عدد بلانك) نبرهن انه يساوى اللوغاريتم الطبيعى لطول بلانك وهو عدد يزداد اذا زادت المسافة الاولية بين اخيل و السلحفاة لكنه يبقى منتهى حتى لو كانت هذه المسافة تساوى حجم الكون نفسه و هو ايضا يزداد اذا زادت نسبة سرعتى اخيل و السلحفاة و اقصى قيمة لهذه النسبة هى 1 وهذا يعنى ان سرعة السلحفاة تساوى سرعة اخيل و عندها فان اخيل لن يلحق ابدا بالسلحفاة و عدد بلانك يصبح مالانهائى فعلا. بعض المقادير العددية فى المدونة.

Infinity

Potential versus actual infinities

 

Aristotle distinguished between two kinds of infinities:
-The potential infinity as a never-ending process in time which is actually finite at any given moment.
-The actual infinity which is a completed timeless infinity existing wholly at every instant of time or even outside time.
According to Aristotle, the second notion of actual or completed infinity is contradictory and incoherent and as such he was adamant in rejecting it.
However, this notion of actual infinity was actually used successfully by a minority of mathematicians and philosophers such as Archimedes and Leibniz since the time of Aristotle.

The great Leibniz for example envision reality as an actual infinity constituted of Monads (mind-like atoms or atom-like minds) and then used infinitesimals (which are infinitely small quantities) in his theory of calculus.

The notion of actual infinity was given a precise mathematical meaning (and thus accepted by the majority of mathematicians nowadays) starting with Cantor and his theory of set theory. In this framework potential infinities require for their definition the existence (at least platonic) of actual infinities. Indeed, a potentially infinite set is a growing finite subset of an actually infinite set and as such they can never become an actually infinite set. Said more differently, potential infinity is connected with ordering (and ordinal numbers) whereas actual infinity is connected with counting (and cardinal numbers).

The first actual infinity established by Cantor is the size (also called cardinality) $\aleph_0$ of the set of natural numbers and the second actual infinity is the size of the power set of the set of the  natural numbers (that is $\aleph_1=2^{\aleph_0}$) which is also believed  to be the cardinality of the set of the real numbers. In other words,  it is believed that there are no other infinities between $\aleph_0$ and $\aleph_1$ a fact  known as the continuum hypothesis.

The hierarchy  of infinities continues undefinitely uninterpreted  (there is no cardinal of the set of all cardinals which is known as Cantor's paradox and which was only resolved within Zermelo-Fraenkel’s set theory).

This state of affairs naturally outraged mathematicians and philosophers  from the schools of constructivism, intuitionism, finitism and ultrafinitism which from their part continued their uninterpreted rejection of actual infinity.

Quine has a moderate stance. He accepted actual infinity in mathematics because it is indispensable to science but he only accepted the first three actual infinities because they are the ones which are actually needed in science. So Quine admits $\aleph_0$ (cardinality of the natural numbers), $\aleph_1$ (number of points on the continuum, i.e. the line or the plane or any higher dimensional space) and $\aleph_2$ (number of lines or curves  in the plane for example) and he was certainly willing to admit more if they became indispensable and needed to/by science.

Achilles paradox

Let us see how we can solve Achilles paradox of Zeno of Elea along the lines proposed by Aristotle strengthen with more input from quantum gravity.

We will assume that the speed of Achilles is $v$ whereas the speed of the slower runner (imagined for obscure reasons as a tortoise by most writers who came after Zeno and Aristotle) is $\omega<v$ and that she is given a head start by the amount $L$.

Achilles needs to cover an initial distance $x_0=v t_0$ in order to reach the tortoise initial position while simultaneously  the tortoise advances further away a distance $x_1= \omega t_0$ during the same time interval $t_0$. In this first leg of the journey Achilles spends therefore a time $t_0$ given by
\begin{eqnarray}
t_0=\frac{x_0}{v}=\frac{\omega}{v}\frac{L}{\omega}.
 \end{eqnarray}
Next, Achilles needs to cover the distance $x_1$ which he will do in a shorther time interval $t_1$, i.e.  $x_1= v t_1$ while simultaneously the tortoise advances even further away a distance $x_2= \omega t_1$. In this second leg of the journey Achilles spends therefore a time $t_1$ given by 
\begin{eqnarray}
t_1=\frac{x_1}{v}=\frac{\omega t_0}{v}=(\frac{\omega}{v})^2\frac{L}{\omega}.
 \end{eqnarray}
Achilles needs then to cover the further distance $x_2$ in an even shorter time interval $t_2$, viz $x_2=v t_2$ while simultaneously the tortoise advances even further away a distance $x_3= \omega t_2$.  Achilles spends therefore an extra time $t_2$ in this leg given by

\begin{eqnarray}
t_2=\frac{x_2}{v}=\frac{\omega t_1}{v}=(\frac{\omega}{v})^3\frac{L}{\omega}.
 \end{eqnarray}
This process continues undefinitely and thus the total time spent by Achilles in his journey is $T=t_0+t_1+t_2+...$ while the total distance covered by him before he can reach the tortoise  is
\begin{eqnarray}
D=vT&=&\bigg[\frac{\omega}{v}+(\frac{\omega}{v})^2+(\frac{\omega}{v})^3+....\bigg]\frac{vL}{\omega}\nonumber\\
 &=&\bigg[1+(\frac{\omega}{v})+(\frac{\omega}{v})^2+....\bigg]L
.\label{series}
 \end{eqnarray}
From classical mechanics we know that $T$ and $D$ are given by
\begin{eqnarray}
T=\frac{L}{v-\omega}~,~D=\frac{vL}{v-\omega}.
 \end{eqnarray}
Equation (\ref{series}) is a geometric series which involves an actual infinite number of terms and hence Zeno of Elea thought that one must go to all those locations (in other words complete the infinity) before Achilles can catch up with the tortoise.
Nowadays, we know  how to calculate geometric series (Cauchy). We have for $|r|< 1$ the result
\begin{eqnarray}
(1+r+r^2+r^3+....)a=\frac{a}{1-r}
\end{eqnarray}
In our case the base $r=\omega/v$ is smaller than $1$ since the tortoise is slower than Achilles and $a=L$. We get immediately, the result

\begin{eqnarray}
\bigg[\frac{\omega}{v}+(\frac{\omega}{v})^2+(\frac{\omega}{v})^3+....\bigg]\frac{vL}{\omega}=\frac{L}{1-r}.
 \end{eqnarray}
This agrees with the result from classical mechanics.

In the spirit of Aristotle let us recompute the geometric series with only a very large but finite number of terms $N+1$ (a potential infinity).  The distance covered in $N+1$ steps is $D_N$ in a time $T_N$. We get immediately

\begin{eqnarray}
D_N=vT_N&=&\bigg[\frac{\omega}{v}+(\frac{\omega}{v})^2+(\frac{\omega}{v})^3+....+(\frac{\omega}{v})^{N+1}\bigg]\frac{vL}{\omega}\nonumber\\
 &=&\bigg[1+(\frac{\omega}{v})+(\frac{\omega}{v})^2+....+(\frac{\omega}{v})^N\bigg]L\nonumber\\
&=&\frac{L}{1-r}(1-r^{N+1}).
 \end{eqnarray}
The absolute error (or the distance left before Achilles catches up with the tortoise) is  $D-D_N$ and thus the relative error is $(D-D_N)/D$. They are given explicitly by

\begin{eqnarray}
D-D_N&=&\frac{L}{1-r}r^{N+1}.
 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{D-D_N}{D}&=&r^{N+1}.
 \end{eqnarray}
For simplicity, let us assume that the speed of the tortoise is half that of Achilles, i.e. $\omega=v/2$ or equivalently $r=1/2$. We get in this case

\begin{eqnarray}
D-D_N&=&\frac{L}{2^{N}}~,~\frac{D-D_N}{D}&=&\frac{1}{2^{N+1}}.
 \end{eqnarray}
If we further assume that the original distance separating Achilles and the tortoise is around $1$ kilometers or more precisely $L=2^{10}m$ then Achilles needs to perform only $N+1=11$ steps in order to bring the relative distance between them to $1$ meter exactly with a relative error of $0.05$ per cent. Thus, from a practical side the partial sum $D_N$ will converge to the correct answer $D$ (and Achilles as a consequence will catch up with the tortoise) under all normal circumstances.

However, there is also a fundamental obstruction to going (or attempting to go) to an infinite number of locations (as required by the abstract thought of Zeno). The actual distance between Achilles and the tortoise after $N+1$ steps  is given explicitly by
\begin{eqnarray}
d_N=(L+x_1+x_2+x_3+...)-D_N&=&L r^{N+1}=\frac{L}{2^{N+1}}.
 \end{eqnarray}
This approaches $0$ when $N$ goes to $\infty$.

From a physical point of view it is well established that distances below the so-called Planck scale given by $l_P=\sqrt{\hbar G/c^3}$ (where $\hbar$ is the Planck constant, $c$ is the speed of light and $G$ is Newton's gravitational constant) can not be probed by any physical process and/or observer. Indeed, Heisenberg's uncertainty principle with Einstein’s theory of classical gravity leads to the conclusion that spacetime geometry breaks down at the Planck scale (because of the formation of black holes which traps therefore light) and it is then widely conjectured that the classical geometry of spacetime at this scale is replaced by a quantum structure (noncommutative geometry for example) where points, lines, etc have no clear operational meaning.


The distance  $d_N$ between Achilles and the tortoise must therefore be bounded from below by the Planck scale, viz
\begin{eqnarray}
d_N\geq l_P.
 \end{eqnarray}
The Planck scale corresponds therefore to a maximum number of locations $N_P+1$ which can be visited by Achilles given by (with $l_P=1.62\times 10^{-35}$)
\begin{eqnarray}
N_P+1=\frac{\ln l_P-\ln L}{\ln r}=\frac{-80.11-\ln L}{\ln r}.
 \end{eqnarray}
 In the example considered above where $r=1/2$ and $L=2^{10}$ we get $N_P+1=115.57+10\simeq 116$. This maximum integer number $N_P$ increases further if the distance $L$ increases (maximum is the size of the observable universe) or the ratio $r=\omega/v$ increases (maximum is $1$). For Aristotle (and quantum gravity) all natural infinities are really only potential ones.

References

The Infinite

The Quantum structure of space-time at the Planck scale and quantum fields

On the difference between first and second order phase transitions

الفراغ الكمومى هو عالم الخيال

الجسيم النقطى هو جسيم يتميز بحجم يساوى صفر وهو يجب ان يحقق معادلة اينشتاين النسبية التى تربط بين كتلته و طاقته و كمية حركته.
والجسيم النقطى هو جسيم حجمه يساوى الصفر الرياضى و ليس الصفر التقريبى فهو بالضبط الجوهر الفرد الذى قال به المتكلمون قديما من المعتزلة و الاشاعرة وقال به فيلسوف واحد هو ليبنيز (فكرة الموناد المبدعة).
لكن يمكن للجسيم النقطى ان لا يحقق معادلة اينشتاين للطاقة.
فى هذه الحالة فاننا نقول ان هذا الجسيم هو جسيم افتراضى.
هذا لا يعنى ان الجسيم الافتراضى اقل حقيقية من الجسيم الحقيقى لكنه يعنى فى مرحلة اولى انه اقل مادية.
بالفعل فان الجسيم الافتراضى لا يمكن رؤيته مباشرة فى العالم المادى.
اذن هو و كأنه غير موجود مما يجعله فى المحصلة اقل حقيقية من الجسيم النقطى المادى الذى يمكن رؤيته فى الطبيعة و المختبرات.
لكن هو موجود لن ادعى ذلك و اقول هو موجود يقينا لكننى اقول انه موجود بيقين كافى جدا لكن غير جازم.
وكون الجسيم الافتراضى لا يحقق معادلة اينشتاين للطاقة يمكن ايضا فهمه على أن هناك ارتياب فى طاقته بين ما يحمله فعلا من طاقة و بين ما كان يجب ان تكون طاقته لو كان احترم معادلة اينتشاين مما يؤدى الى وجود ارتياب صغير جدا فى الزمن يُفهم (من مبدأ هايزنبرغ للارتياب) على انه عمر الجسيم الافتراضى.
اذن الجسيم الافتراضى لا يحترم علاقة الطاقة لاينتشاين و عمره صغير جدا.
وهذه الجسيمات الافتراضية هى التى تملأ كل الخطوط الداخلية لمخططات فايمان فى كل نظريات الحقول الناجحة فى وصف الطبيعة و التى لم تنجح.
بعبارة اخرى الجسيمات الافتراضية هى التى تملأ الفراغ الكمومى فهى تتخلق و تتلاشى فيه بشكل مستمر و من هنا تأتى قوة الفراغ الكمومى.
اذن الفراغ الكمومى هو ليس عدم بل هو يؤدى الى فهم مبدع للعدم سبق به المعتزلة و ابن عربى غيرهم من المسلمين و الغربيين بقرون ضوئية.
فالفراغ الكمومى رغم انه لا يحتوى على جسيمات حقيقية اى فارغ من الجسيمات المادية الا انه مملوء بعدد لانهائى من الجسيمات الافتراضية (والعدد اللانهائى هنا هو عدد لانهائى مكتمل او متحقق و ليس مالانهاية كامنة).
اذن الفراغ الكمومى رغم انه لا شيء (مادى) (كما أراد الغزالى و الاشاعرة قوله) الا انه أكيد شيء (ذو وجود كامن كما اراد المعتزلة و ابن عربى قوله و هو الرأى الاصح و الادق) فهو مملوء بعدد لانهائى من الجسيمات الافتراضية التى هى اشياء.
اذن اين توجد هذه الجسيمات الافتراضية و ماهو هذا الفراغ الكمومى فعلا?
الجواب (التقريبى على الاقل. لأن لا احد أجاب عن هذا) هو عالم الخيال.
فالجسيمات الافتراضية موجودة فى عالم الخيال المماس لعالم المادة كما تصوره ابن عربى.
بل الفراغ الكمومى نفسه هو الخيال او على الاقل جزء منه.
وهذا الخيال يحتوى على المالانهايات المتحققة و ليس فقط المالانهايات الكامنة عكس العالم المادى الذى لا يمكن ان يحتوى الا على المالانهايات الكامنة كما قال الغزالى قديما ثم قال غوس (احد اعمدة الرياضيات) حديثا.

تأثير كازيمير على اليوتوب

سلسلة رامانوجان 1+2+3+4 الى مالانهاية تعطى ناقص 1 على 12. و هذا انطلاقا من التمديد المستمر لدالة زيطا ريمان.
اما تأثير كازيمير فهو تأثير مقاس تجريبيا يؤثر فيه الفراغ الكمومى (اى ما نسميه الخلاء او العدم او اللاشيء عند البعض) على الاجسام تأثير محسوسا.
هذه القوة متناسبة مع الحد الثابت الذى هو ناقص 1 على 12 فى نشر سلسلة رامانوجان المقارب.
تأثير كازيمير هو احد العجائب الكمومية السبعة (انظر منشورات قديمة لى حول الموضوع و كلها مجموعة فى كتاب الواقع و الزمن على المدونة) و دالة زيطا ريمان تبين غرابة المالانهاية بشكل درامى حاد.
اذن غرابة الفيزياء تلتقى هنا مع غرابة الرياضيات وليس لنا الا محاولة الفهم عبر الحواس و العقل و الخيال.
تأثير كازيمير من الجهة الاخرى هو النموذج الفيزيائى و الرياضى للطاقة المظلمة التى تحصد حوالى 70 بالمائة من اجمالى كتلة الكون.
فالطاقة المظلمة مثلها مثل قوة كازيمير هى قوة ناجمة من التقلبات الكمومية (الجسيمات و الجسيمات المضادة المتخلقة و المتلاشية فى الفراغ بشكل مستمر كما ينص عليه مبدأ هايزنبرغ للار تياب).
اذن الطاقة المظامة هى ايضا طاقة الفراغ الكمومى الذى يشمل كل الكون.
هذا الفيديو على اليوتوب هو الرابع على القناة الجديدة (كل شيء نظرية) الذى هو قلب على الاسم (نظرية كل شيء).

https://www.youtube.com/watch?v=OoC42sS_VzI&feature=share&fbclid=IwAR12YkjYEolH_5IPo4gZ3ld8NW7cm0mvuriSPF0Fz56fEKcbE5yZ2Epw3Jg 

The Casimir effect: Illustration of the Riemann zeta function regularization

For simplicity, we will consider:
- A one-dimensional space instead of our usual three-dimensional space.
- The space is a box of finite size $L$.
- The space is periodic so it is really a circle (this will eliminate edge effects).
- An electromagnetic field of particles (photons) which is scalar (with no spin) which permeates this space.
A mode of this field is a plane wave with a  quantized (because of the periodic  boundary condition) frequency or energy  given by
\begin{eqnarray}
\omega_n(L)=\frac{\pi}{L}n~,~n=0,1,2,...
\end{eqnarray}
These modes represent virtual particles which are constantly created and annihilated in the vacuum and thus the energy of the quantum vacuum is given by the formula (we set $\hbar=1$)
\begin{eqnarray}
E(L)=\frac{1}{2}\sum_n\omega_n(L)=\frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty}n.
\end{eqnarray}
This is the Ramanujan series and there is no doubt that it is divergent quadratically with a sharp cutoff $N$.
Let us now imagine two metal parallel plates placed at $x=0$ and $x=a$ inside this space.
The field modes in the space between the two plates are still plane waves but now with quantized frequencies given by
\begin{eqnarray}
\omega_n(a)=\frac{\pi}{a}n~,~n=0,1,2,...
\end{eqnarray}
The energy of the quantum vacuum inside the plates is then given by
\begin{eqnarray}
E(a)=\frac{1}{2}\sum_n\omega_n(a)=\frac{\pi}{2a}\sum_{n=1}^{\infty}n.
\end{eqnarray}
We regularize this expression by a smooth cutoff function $\eta(x)$. As we have shown (in our previous post on the Riemann zeta function) the smoothed Ramanujan partial series is given by
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty}n\eta(\frac{n}{N})=-\frac{1}{12}+N^2C_{\eta,1}+O(\frac{1}{N^2}).
\end{eqnarray}
The cutoff $N$ here is quite physical and represents the frequency at which the metal of the plates stops from being a conductor due to the so-called skin effect.  This cutoff $N$ is related to the energy cutoff $\Lambda$ by
\begin{eqnarray}
\Lambda=\frac{\pi N}{a}.
\end{eqnarray}
The energy of the quantum vacuum inside the plates is then given by
\begin{eqnarray}
E(a)=-\frac{\pi}{24 a}+\frac{a\Lambda^2 C_{\eta,1}}{2\pi}.
\end{eqnarray}

In the rest of the universe (outside the plates which is also a box but of size $b=L-a$) the energy of the quantum vacuum is  given similarly by
\begin{eqnarray}
E(b)=\frac{1}{2}\sum_n\omega_n(b)=\frac{\pi}{2b}\sum_{n=1}^{\infty}n=-\frac{\pi}{24 b}+\frac{b\Lambda^2 C_{\eta,1}}{2\pi}.
\end{eqnarray}
The total energy of the quantum vacuum is then 

\begin{eqnarray}
E=E(a)+E(b)=\frac{L\Lambda^2 C_{\eta,1}}{2\pi}-\frac{\pi}{24 a}-\frac{\pi}{24 b}+O(\frac{1}{{\Lambda}^2}).
\end{eqnarray}
This is still quadratically divergent as it should be.  But the coefficient of the quadratic divergence is proportional to $L$ which is a fixed quantity.

Now, the force between the two plates will cause their separation $a$ to vary by an amount $da$ causing therefore a variation in their energy by the amount $dE$. Saying it differently, the force between the two plates is given by
\begin{eqnarray}
F=-\frac{dE}{da}=-\frac{\pi}{24 a^2}.
\end{eqnarray}
In this formula we have also taken the continuum limit $L\longrightarrow \infty$ which made the $b-$term vanishes identically.

This force is measured experimentally yet it remains one of the most mysterious effect in physics. Indeed,   this is a force due to the quantum vacuum and as such it is intimately connected to the vacuum energy and dark energy. However, the regularization scheme here is physically quite motivated and very transparent and the role of the Riemann zeta function is illustrated in a spectacular way. But this does not mean that the Riemann zeta function is less mysterious but only means that by such considerations this function is at least  brought closer to logical and physical intuitions.

دالة زيطا ريمان

هل يمكن ان يكون هناك ايمان مع برهان.
سيقولون نعم بل لا يجب ان يكون الايمان الا مع البرهان.
لكن هل يمكن فعلا ان يكون الايمان صعبا رغم توفر البرهان.
سيقولون لا بل هو جحود.
اقول نعم يمكن ان يكون هناك برهان بل قد يكون هناك برهان صارم لكن لا يمكن ان يتحقق الايمان او على الاقل نجد صعوبة شديدة فى هذا الايمان.
اقدم مثال رياضى.
اذا اخذنا 1+1 نجد اثنان.
ثم اذا أخذنا 1+1+1 نجد ثلاثة.
ثم اذا اخذنا 1+1+1+1 نجد اربعة.
وهكذا.
نسأل ماذا يساوى لو اخذنا 1+1+1+...عدد لانهائى من المرات.
أكيد الجواب سيكون مالانهاية.
لكن الجواب الصحيح هو ناقص نصف.
والغرابة بل الاستحالة هنا مضاعفة: اولا النتجية سالبة رغم اننا نجمع فى اعداد موجبة ثم اننا وجدنا كسر مع اننا نجمع فى اعداد صحيحة. ثم تأتى الغرابة الثالثة اننا وجدنا عدد منته و ليس المالانهاية.
و البرهان يعتمد على ما يسمى دالة زيطا ريمان Riemann zeta function وهى ملكة كل الدوال بدون استثناء وهى دالة تدخل فى الميكانيك الكمومى و نظرية الحقول و نظرية الاوتار و فى الرياضيات الاساسية وكان هذا اساس اكتشافها من قبل احد اكبر الرياضيين فى التاريخ قاطبة ريمان Riemann الذى حسب بأصفارها (تصوروا) عدد الاعداد الاولية داخل الاعداد الطبيعية.
اذن هى دالة مثل الروح لكثير من الفيزياء و الرياضيات وهى من اغرب ما يكون.
اذن لدينا برهان رياضى يقينى على ان 1+1+1 الى مالانهاية يساوى ناقص نصف لكننا (لكننى شخصيا) لا استطيع ان أؤمن بها و اصدقها التصديق الايمانى اما التصديق الرياضى العقلى بمنطق الرياضيات التى نعرفها فالبرهان ليس فيه اى شائبة.
يبدأ ريمان بتعريف دالة زيطا ريمان بالسلسلة فى الصورة الاولى من اجل القيم الأكبر من 1 ل s و برهن على أن هذه السلسة متقاربة مطلقا absolutely convergent من اجل هذه القيم.
اذن الدالة معرفة فى هذا النطاق الموجب من المستوى المركب complex plane.
ثم برهن ريمان على ان هذه الدالة قابلة للتمديد المستمر analytic continuation الى كل نطق (جمع نطاق) المستوى المركب باستثناء القيمة s=1 اين تتباعد diverges فعلا الدالة و تصبح غير معرفة.
اذن القيمة s=1 هى القطب pole الوحيد لدالة زيطا ريمان و المتبقى residue فى هذا القطب يساوى بالضبط واحد.
اما كيف يتم التمديد المستمر فهو يتم عن طريق كتابة دالة زيطا ريمان على شكل تكامل حقيقى (بدلالة دالة غاما gamma function) كما فى الصورة الثانية ثم تمديد هذه التكامل الى المستوى المركب بمحاذاة المحيط contour الذى فى الصورة الثالثة.
هذا المحيط يتشكل من الجزء C1 (اللون الاخضر) الذى يبدأ من زائد مالانهاية تحت ما يسمى القطع الفرع branch cut ثم يلتف حول النقطة الفرع branch point التى هى الصفر ثم يعود الى مالانهاية فوق القطع الفرع.
(القطع الفرع branch cut هو الخط الذى تأخذ فيه الدالة عدة قيم اى تصبج متعددة-القيم multi-valued و لهذا فه يسمى فرع لان الدالة تتفرع عنده الى عدة ورقات sheet اى سطوح مختلفة مقابلة للقيم المختلفة. و فى هذه الحالة فان القطع الفرع هو نصف المستقيم الحقيقى الموجب. و القطع الفرع يسمى قطع لانه يجب علينا قطعه اى نزعه من مجال التعريف).
ثم يواصل المحيط سيره عبر الدائرة الكبرى C2 فى الصورة.
نبرهن على ان التكامل بمحاذاة هذه الدائرة الكبرى هو صغير جدا كلما كبر نصف قطر الدائرة.
اذن يمكن ان نكتب دالة زيطا ريمان على شكل تكامل مركب بمحاذاة المحيط المغلق C1+C2 كما فى الصورة الرابعة.
وهذا يعنى انه يمكننا استخدام مبرهنة المتبقيات residue theorem التى لا تتطلب الا الاقطاب التى هى فى هذه الحالة هى النقاط الحمراء فى الصورة (الاقطاب و المتبقيات موجودة ايضا فى الصورة الرابعة).
بعد اجراء التكامل باستخدام مبرهنة المتبقيات نحصل على العلاقة فى الصورة الخامسة التى تعرف دالة زيطا ريمان بالنسبة للقيم s التى هى اصغر من الصفر بدلالة دالة زيطا ريمان بالنسبة للقيم s التى هى اكبر من واحد (وهى القيم التى ابتدأنا بها).
وهذا من اشهر أمثلة التمديد المستمر التى سمحت لنا بتمديد تعريف الدالة (دالة زيطا ريمان) من القيم الموجبة الى القيم السالبة.
اول تطبيق لهذه العلاقة الخامسة يعطينا المساواة
1+1+1 الى مالانهاية يساوى نصف.
ثانى تطبيق (وهو الأشهر فى الفيزياء) يعطينا المساواة
1+2+3+4+5+...الى مالانهاية يساوى ناقص واحد على 12.
ثالث تطبيق نحصل على مجموع المربعات اى
1+4+9+16 الى مالانهاية يساوى صفر !!!
وهذه العلاقات الثلاثة موجودة فى الصورة الثلاث الاخيرة.
وهذا من سحر الرياضيات التى لا استطيع شخصيا ان أؤمن به قلبيا لكن الايمان العقلى فنعم فهو لا شائبة فيه.
من اجل التفصيل انظروا منشور المدونة
https://badisydri.blogspot.com/…/the-riemann-zeta-function.…
الرسم التوضحي ادناه للمحيط هو اول رسم تنتجه ابنتى التلميذة بالثانوى بعد ان اكتشفت انها يمكن ان ترسم هكذا اشكال توضيحية على الحاسوب.
ترقبوا ايضا فيديو البوتوب ان شاء الله الذى سأشرح فيه كيف نحصل بالضبط ليس انطلاقا من التمديد المستمر الرياضى (الغامض جدا جدا فى حالات السلاسل المالانهائية) بل انطلاقا من التسوية القطعية cutoff regularization الفيزيائية اذن كيف نحصل على هذه القيم )ناقص نصف و ناقص واحد على 12 و صفر) من تلك المجاميع اللانهائية التى لا تحتوى الا على اعداد طبيعية موجبة.

The Riemann zeta function

Analytical Continuation 

Let us consider the following contour integral
\begin{eqnarray}
f=\oint_C dz \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}.
\end{eqnarray}
The closed contour $C$ consists of two pieces $C_1$ and $C_{2}$ given as follows:

- The contour $C_{2}$ is a large circle of radius $R=(2N+1)\pi$ so it contains all the poles $z=2\pi i n$, $n=\pm 1, \pm 2,...$ of the integrand defined by $e^z-1=0$. The pole $z=0$ is not inside the contour   $C_{2}$.

- The contour $C_1$ which starts below the branch cut  at $+\infty$ then comes and encircles the branch point $z=0$ before it goes to $+\infty$ above the branch cut. The branch cut due to the exponentiation $(-z)^{s-1}$ is assumed here to be between $z=0$ and $z=+\infty$.

Setp $1$

It is very easy to show that

\begin{eqnarray}
\int_{C_{2}} dz \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}\propto R^s\longrightarrow 0~,~R\longrightarrow\infty~,~{\rm Re}(s)<0.\label{2}
\end{eqnarray}
The integral over the circle $C_{2}$ is vanishingly small for larger and larger radii.

Step $2$

Next, we assume that ${\rm Re}(s)\gt1$.  Clearly, around the encirclement of the branch point $z=0$ we have $(-z)^{s-1}=e^{-i(\pi-\theta)(s-1)}R^{s-1}$.

Thus,  the phase above the branch cut is $(-z)^{s-1}=e^{-i\pi(s-1)}x^{s-1}$ whereas below the branch cut we have the phase $(-z)^{s-1}=e^{i\pi(s-1)}x^{s-1}$.

We compute then

\begin{eqnarray}
\int_{C_1} dz \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}=(e^{-i\pi(s-1)}-e^{i\pi(s-1)})\int_0^{\infty} dx \frac{x^{s-1}}{e^x-1}=-2i\sin \pi(s-1)I. \label{3}
\end{eqnarray}
It is not difficult to show (by expanding the denominator in $I$ in a geometric series and interchanging the sum with the integral) that the integral $I$ is given by the formula 

\begin{eqnarray}
I=\Gamma(s)\zeta(s).\label{4}
\end{eqnarray}
The gamma function $\Gamma(s)$ is given by the usual formula
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)=\int_0^{\infty}\frac{dt}{t}t^se^{-t}~,~{\rm Re}(s)>0.
\end{eqnarray}
The $\zeta(s)$ is the celebrated Riemann zeta function which is defined for ${\rm Re}(s)>1$ by the absolutely convergent series
\begin{eqnarray}
\boxed{\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}~,~{\rm Re}(s)>1.}\label{6}
\end{eqnarray}
Equivalently, we have
\begin{eqnarray}
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty} dx \frac{x^{s-1}}{e^x-1}.
\end{eqnarray}
This function can also be given (by means of equations (\ref{3}) and (\ref{4})) by the complex integral
 
\begin{eqnarray}
\zeta(s)=\frac{1}{2i\sin \pi s}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{C_1} dz \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}.
\end{eqnarray}
But the gamma function satisfies
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}.
\end{eqnarray}
Thus, the Riemann zeta function takes also the form

\begin{eqnarray}
\zeta(s)=\frac{\Gamma(1-s)}{2i\pi }\int_{C_1} dz \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}.\label{9}
\end{eqnarray}
Since the contour integral over $C_1$ is defined everywhere we conclude that  the Riemann zeta function is also defined everywhere except at the poles of $\Gamma(1-s)$ which occur at $s=1,2,3,...$.

But the zeta function is actually regular for all $s$ such that ${\rm Re}(s)>1$, i.e. the poles $s=2,3,...$ of the gamma function $\Gamma(1-s)$ must be cancelled by corresponding zeros of the contour integral.

Hence, the Riemann zeta function is analytic in the complex plane (all values of $s$) except at $s=1$. We can also easily show that the residue of the pole of the zeta function at $z=1$ is exactly equal $1$.

Step $3$

The formula (\ref{9}) works then for ${\rm Re}(s)<0$. By using the result (\ref{2}) we end up with the formula
\begin{eqnarray}
\zeta(s)=\frac{\Gamma(1-s)}{2i\pi }\oint_{C} dz \frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}.
\end{eqnarray}
The contour has become closed and therefore  we can use the residue theorem which will only use the poles and their residues. In our current case the poles and residues are given by
\begin{eqnarray}
z= 2 i n\pi~,~n=\pm 1, \pm 2,....~,~{\rm Resi}(z)=\big[e^{\mp i\frac{\pi}{2}} 2\pi|n|\big]^{s-1}.
\end{eqnarray}
Hence the Riemann zeta function for ${\rm Re}(s)<0$ is given by
\begin{eqnarray}
\zeta(s)=\frac{\Gamma(1-s)}{2i\pi }(2\pi i)(2)\sum_{n=1}^{\infty}\cos((s-1)\frac{\pi}{2})(2\pi n)^{s-1}.
\end{eqnarray}
Or equivalently
\begin{eqnarray}
\boxed{\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\cos((s-1)\frac{\pi}{2})\zeta(1-s).}\label{13}
\end{eqnarray}
This allows us to extend (analytically continue) the definition of the Riemann zeta function to outside its original domain.

Examples

Some important examples include:

\begin{eqnarray}
\zeta(0)&=&1+1+1+...\nonumber\\
&=&\frac{1}{\pi}\cos \frac{x\pi}{2}\zeta(x)\nonumber\\
&=&-\frac{1}{\pi}\sin\frac{(x-1)\pi}{2}\zeta(x)\nonumber\\
&=&-\frac{1}{2}.
\end{eqnarray}
As we have seen the series (\ref{6}) is absolutely convergent for all values of $s$ such that ${\rm Re}(s)>1$ whereas the map  (\ref{13}) allows us to analytically continue the function to all values of $s$ in the complex plane except $s=1$. At $s=1$ the Riemann zeta function defines the so-called harmonic series which is actually divergent as $(s-1)\zeta(s)\longrightarrow 1$ when $s\longrightarrow 1$ which is a fact that we have used in the last line in the above equation.

Another example:

\begin{eqnarray}
\zeta(-1)&=&1+2+3+...\nonumber\\
&=&-\frac{1}{2\pi^2}\zeta(2)\nonumber\\
&=&-\frac{1}{12}.
\end{eqnarray}
In this result we have used the Basel series $\zeta(2)=\pi^2/6$ calculated by Euler (by considering the $x^2-$term of the function $\sin x/x$).

Similarly, we have
\begin{eqnarray}
\zeta(-2)&=&1+4+9+...\nonumber\\
&=&0.
\end{eqnarray}
In general we have in terms of Bernoulli numbers the result

\begin{eqnarray}
\zeta(-s)
&=&-\frac{B_{s+1}}{s+1}.
\end{eqnarray}

Regularization

Let us redo the calculation of the divergent sum $\zeta(-1)$ using a regulator. We start with a sharp cutoff $N$ and write
\begin{eqnarray}
\zeta_N(-1)=\sum_{n=1}^Nn=\frac{1}{2}N^2+\frac{1}{2}N.
\end{eqnarray}
This shows explicitly that this sum diverges quadratically with the cutoff $N$ which is quite expected. However, there is no trace whatsoever of the value $-1/12$ given to the  sum by the Riemann zeta function. This is due to the fact that the above partial sum is discrete and therefore if $N$ is viewed as a real number it has jump discontinuities at each positive integer value of $N$.

This problem can be resolved if we consider a smooth cutoff function $\eta(n/N)$ instead of the sharp cutoff $N$ where $\eta:R^+\longrightarrow R$ is a smooth function supported in the interval $[0,1]$ and satisfies $\eta(0)=1$. We have then the smoothed partial sum
\begin{eqnarray}
\zeta_N(-1)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\eta(\frac{n}{N})n\nonumber\\
&=& \sum_{n=1}^{N}f(n)~,~f(n)=\eta(\frac{n}{N})n.
\end{eqnarray}
Consider the integral
\begin{eqnarray}
\int_n^{n+1}f(x)dx&=&\int_n^{n+1}\big[f(n)+(x-n)f^{\prime}(n)+\frac{1}{2}(x-n)^2f^{\prime\prime}(n)+...\big]dx\nonumber\\
&=&f(n)+\frac{1}{2}f^{\prime}(n)+\frac{1}{6}f^{\prime\prime}(n)+...
\end{eqnarray}
Also from the Taylor expansion $f(n+1)=f(n)+f^{\prime}(n)+f^{\prime\prime}(n)/2+...$ we have
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}f(n+1)+\frac{1}{2}f(n)=f(n)+\frac{1}{2}f^{\prime}(n)+\frac{1}{4}f^{\prime\prime}(n)+....
\end{eqnarray}
By using now the Taylor expansion $f^{\prime}(n+1)=f^{\prime}(n)+f^{\prime\prime}(n)+...$ we arrive at the result
\begin{eqnarray}
\int_n^{n+1}f(x)dx&=&\frac{1}{2}f(n+1)+\frac{1}{2}f(n)-\frac{1}{12}f^{\prime}(n+1)+\frac{1}{12}f^{\prime}(n)+...
\end{eqnarray}
We take now the sum over $n$ of both sides  to obtain
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{N-1}\int_n^{n+1}f(x)dx&=&\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1}f(n+1)+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1}f(n)-\frac{1}{12}\sum_{n=0}^{N-1}f^{\prime}(n+1)+\frac{1}{12}\sum_{n=0}^{N-1}f^{\prime}(n)+...
\end{eqnarray}
We get then

\begin{eqnarray}
\int_0^{N}f(x)dx&=&\sum_{n=0}^{N}f(n)+\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{12}f^{\prime}(0)-\frac{1}{2}f(N)-\frac{1}{12}f^{\prime}(N)+...
\end{eqnarray}
By assuming further that $f(N)=f^{\prime}(N)=0$ we get

\begin{eqnarray}
\int_0^{N}f(x)dx&=&\sum_{n=0}^{N}f(n)+\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{12}f^{\prime}(0)+...
\end{eqnarray}
This is effectively the the Euler-Maclaurin formula.

In our case $f(x)=x\eta(x/N)$. Immediately we have $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=\eta(0)=1$ and $ \int_0^{N}f(x)dx=N^2C_{\eta,1}$ where $C_{\eta,1}=\int_0^{\infty}x\eta(x)dx$. We can even show that the error term is of order of $1/N$. Hence, we have


\begin{eqnarray}
\zeta_N(-1)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\eta(\frac{n}{N})n\nonumber\\
&=& -\frac{1}{12}+N^2C_{\eta,1}+O(\frac{1}{N^2}).
\end{eqnarray}
Thus, the analytic continuation result is just the constant term of the asymptotic expansion of the smoothed partial sum, i.e. the Riemann zeta function has only subtracted the divergent piece $N^2C_{\eta,1}$ but one may as well subtract $N^2C_{\eta,1}-\epsilon$ (with any real number $\epsilon$) leaving a finite result for the sum. This method can be generalized to all other sums $\zeta(s)$. See the beautiful post by T.Tao.

References

T. Tao, The Euler-Maclaurin fomula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation.

 

Hilbert space

The Hilbert space is an essential ingredient in most formalisms of quantum mechanics.
Hence,  any hope of a proper grasp of the counter-intuitive nature of the quantum phenomena must necessarily pass by a good understanding of the concept of the Hilbert space and related notions.
For  one thing the state of the physical system is an element of the Hilbert space. And one should recall that the state of the system encodes everything there is to know about the physical system.
But what is exactly the Hilbert space of quantum mechanics?
The answer in three points.

First:
The Hilbert space is a vector space similar to the three-dimensional physical space we find ourselves inhabiting. Therefore physical states are points inside this vector space in the same way that three-dimensional locations are points inside the physical space.
A point in the Hilbert space is determined by a state vector similarly to the fact that physical locations are determined by position vectors.
The physical states are really synonymous  with the state vectors.
However, there are still two main differences between physical spaces and Hilbert spaces.
Firstly, a Hilbert space is not necessarily three-dimensional but it could have any number of dimensions or even be infinite dimensional. In fact, its basis does not even need to be labelled by a discrete number but the label may as well form a continuum.
Secondly, a Hilbert space is really a complex vector space. Thus, the components of a given state vector in a given basis are given by complex numbers (called wave functions).
This is the most drastic difference between real physical spaces and complex Hilbert spaces.
Indeed, this is the reason why wave functions (which are the complex components of a state vector in a given basis) only compute probability amplitudes. The probability itself is obtained by taking the square of the modulus of the wave function (Born's rule).

Second:
The Hilbert space is a complex vector space which is also a metric space.
In other words, we can define norm and distance functions  starting from the notion of the inner or scalar product defined between the state vectors of the Hilbert space. Thus, lengths (norms) of state vectors and distances between state vectors are well defined concept in the Hilbert space.

Third:
The Hilbert space is therefore a complex linear vector space which is a metric space.
But the Hilbert space is more than just that.
A Hilbert space is also a complete space (called a Cauchy space).
Intuitively, this means that the Hilbert space does not contain any holes.
From a mathematical point of view this property of completeness means that every series of state vectors which is absolutely convergent  must necessarily converge to some state vector in the Hilbert space. Here, absolute convergence of vectors is nothing  but absolute convergence of their norms, i.e. the sum of their lengths does not diverge.

In summary, the Hilbert space is a complex vector space which is a metric space as well as a complete space.
As a consequence the Hilbert space is an example of the so-called Banach spaces which are spaces in which the whole mathematical structure can be based on the norm and not on the inner product.