كيف ينبعث الفضاء-زمن من التشابك الكمومى (ملخص محاضراتى فى الفصل الاخير حول الموضوع)

وهذا فى عشر نقاط (2 من النسبية العامة, 2 من الميكانيك الكمومى, واحدة من نظرية الحقل الكونفورمال و الترموديناميك, 2 من نظرية الوتر و الثنائية الثقالية-المعيارية, 2 من نظرية الوتر و الهولوغرافى, 1 من النسبية العامة و الهندسة التفاضلية)
اولا من النسبية العامة و بالضبط من معادلات اينشتاين نعرف ان قوة الجذب الثقالى هى مكافئة لهندسة الفضاء-زمن.
اذن اذا اُعطينا الفضاء-زمن اى اعطينا ماهيته اى هندسته فاننا يمكن ان نستخرج قوة الثقالة المؤثرة و العكس ايضا صحيح اى اذا اعطينا قوة الجذب الثقالى فاننا نستطيع ان نستنتج هندسة الفضاء-زمن.
ثانيا من النسبية العامة ايضا فان فضاء-زمن دي سيتر الضدى anti-de Sitter spacetime هو اهم فضاء-زمن على الاطلاق بعد فضاء-زمن مينكوفسكى ( الذى يظهر فى النسبية الخاصة). فهما فضاءان متناظران قصويا.
فضاء-زمن دى سيتر الضدى يمكن تصوره كالتالى (رقعة بوانكريه Poincare patch).
هو فضاء-زمن بعده 5 و ليس اربعة.
اذن هناك محور اضافى قطرى radial يسمي z حيث اننا نجد فى كل نقطة على هذا المحور القطرى فضاء-زمن بأكمله بعده 4 عمودى على المحور القطرى هو بالضبط فضاء-زمن مينكوسفكى.
نقطة البدء z=0 على المحور القطرى تسمى حد boundary فضاء-زمن دي سيتر الضدى وهو نهاية للفضاء فعلا اما نقطة المالانهاية z=\infty على المحور القطرى فهى تسمى افق horizon فضاء-زمن دى سيتر الضدى لاننا لا نستطيع ان نرى ابعد من تلك النقطة (الاحداثيات تنتهى هناك) و ليس ان الفضاء انتهى عند الافق. انظر الصورة الاولى.
المترية موجودة فى الصورة الثانية.
ثالثا من الميكانيك الكمومى نحتاج الى راصد كوبنهاغن الذى يعيش فى فضاء-زمن مينكوفسكى اى على حد فضاء-زمن دى سيتر الضدى. اذن هذا الراصد لا يرى البعد الاضافى القطرى z الا بطرق غير مباشرة.
رابعا من الميكانيك الكمومى فان راصد كوبنهاغن Copenhagen observer الذى يعيش فى فضاء-زمن مينكوفسكى رباعى لا يستطيع ان يصل الى كل نقاط هذا الفضاء لأن كل قياساته محدودة فى منطقة A نسميها المنطقة المسموحة accessible region. انظر الصورة الاولى. المنطقة B التى لا يستطيع ان يصل اليها الراصد تسمى المنطقة غير-المسموحة.
هذا يعنى ان الجملة الفيزيائية التى تهم هذا الراصد رغم انها توصف بحالة نقية pure state اى بشعاع فى فضاء هيلبرت Hilbert نرمز له مثلا ب ψ الا انه بالنسبة لهذا الراصد فان وصف هذه الجملة يتم عبر مصفوفة الكثافة المختزلة reduced density matrix التى يرمز لها ب ρ والتى يتم فيها أخذ التكامل على درجات الحرية الموجودة فى المنطقة غير-المسموحة B كما فى الصورتين 3 و 4.
عملية الرصد تعنى ايضا دخول الراصد فى تشابك كمومى مع المرصود. اذن التشابك الكمومى للمنطقة المسموحة A التى يستطيع ان يصل اليها الراصد مغ المنطقة غير-المسموحة B يُقاس بانطروبى التشابك entanglement entropy الذى يُحسب من مصفوفة الكثافة المختزلة بعلاقة فون نيومان von Neumann كما فى الصورة الخامسة.
خامسا النظرية الكمومية التى تعيش على فضاء-زمن مينكوسفكى الذى هو حد لفضاء-زمن دي سيتر الضدى هى نظرية حقل كونفورمال conformal field theory او CFT. اذن انطروبى التشابك اعلاه هو انطروبى التشابك الذى يحسب فى نظرية ال CFT.
هذا الانطروبى يحقق المبدأ الاول للترموديناميك المعطى فى الصورة السادسة و الذى يسمى فى هذا النسق بالمبدا الاول للتشابك first law of entanglement حيث ان الوسيط ξ فى الصورة هو الوسيط الذى يُحسب بالنسبة له انطروبى التشابك الذى يرمز له ب S و الطاقة الزائدية hyperbolic energy التى يرمز لها ب E. اذن هذا الوسيط هو الوسيط الذى يميز الحالة الكمومية للجملة. اى اننا نغير انطروبى التشابك و الطاقة الزائدية بتغيير حالة الجملة من الحالة الاساسية ground state التى تقابل ξ=0 الى الحالات المثارة excited states التى تقابل ξ#0.
الطاقة الزائدية هى القيمة المنتظرة للهاميلتونية الوحداتية modular Hamiltonian و التعريف الدقيق لكليهما سيأخذنا ابعد. ما يهمنا هنا ان الطاقة الزائدية فى ال CFT هى التى تلعب دور الطاقة الداخلية internal energy فى الترموديناميك.
سادسا الثقالة الكمومية تعطى بالثنائية الثقالية-المعيارية gauge/gravity duality التى فى هذه الحالة هى التقابل AdS/CFT.
تناظرات, عدد درجات حرية و ايضا دالة التقسيم partition function (او تكامل الطريق path integral) النظرية الثقالية الكمومية حول فضاء دى سيتر الضدى AdS تساوى بالضبط تناظرات, عدد درجات حرية و دالة تقسيم النظرية الحقلية الكونفورمال CFT التى تعيش على حد فضاء-زمن دى سيتر.
أكثر من هذا فان الحقل فى فضاء-زمن دى سيتر الضدى يقترب الى الحقل فى فضاء-زمن مينكوفسكى عندما نذهب الى الحد كما فى الصورة السابعة جيث Δ هو البعد التدرجى scaling dimension للحقل.
سابعا التقابل AdS/CFT يسمح لنا ايضا ان نرى انه كما ان الحالة الاساسية التى تقابل ξ=0 هى ثنائية dual للمترية غير-المضطربة لفضاء دى سيتر الضدى المعطاة فى الصورة الثانية فان الحالة المثارة التى تقابل ξ#0 يجب ان تكون ثنائية لمترية مضطربة لفضاء دى سيتر الضدى.
اذن تغيير الحالة الكمومية للنظرية الحقلية CFT يقابل تغيير لمترية فضاء-زمن دى سيتر الضدى AdS.
ثامنا المبدأ الاول للتشابك الذى ناقشناه اعلاه والذى يعيش فى فضاء-زمن مينكوفسكى الذى هو حد لفضاء-زمن دى سيتر الضدى يجب ان يمدد الى داخل فضاء دى سيتر الضدى.
تمديد انطروبى التشابك يمر عبر المبدأ الهولوغرافي holographic principle المشفر فى علافة ريوى Ruy و تاكاناغى Takanagi. هذه العلاقة هى تعميم لعلاقة هاوكينغ و بيكنشتاين Bekenstein الخاصة بانطروبى الثقب الاسود و هى معطاة فى الصورة الثامنة.
انطروبى التشابك داخل فضاء دى سيتر الضدى هو متناسب مع المساحة Γ للسطح القصوى extremum surface الذى يمتد داخل فضاء-زمن دى سيتر الضدى و المرتكز على المنطقة غير-المسموحة B كما هو موضح فى الصورة الاولى. السطح القصوى يعنى السطح المرتكز على B (اى ان حده هو نفسه حد B) والذى له اصغر مساحة ممكنة.
بعد ان نحسب هذه المساحة نقسم على 4 مضروبة فى ثابت نيوتن G لنحصل على انطروبى التشابك الهولوغرافى اى الانطروبى المعرف داخل فضاء-زمن دى سيتر الضدى AdS و ليس فقط فى النظرية الحقلية ال CFT.
لو اخدنا مثلا المنطقة غير-المسموحة B عبارة عن جلة Ball ذات نصف قطر R على الحد فان السطح القصوى هو ايضا جلة ذات نصف قطر R لكن فى AdS. فى ثلاثة ابعاد مثلا فان B هى قطعة مستقيمة و السطح القصوى هو نصف دائرة مرتكز على هذه القطعة. وهذه الوضعية وضعية الجلة هى اهم وضعية على الاطلاق و كل الحساب الصريح يتم بافتراضها.
تاسعا فى المبدأ الاول للتشابك نحتاج ايضا الى تمديد الطاقة الزائدية تمديدا هولوغرافيا اى نحو داخل AdS.
هذا اصعب قليلا و يحتاج الى ادراك ان ما يسمى بالتطور السببى causal developement للمنطقة غير-المسموحة او الجلة B هو مرتبط عبر تطبيق كونفورمال conformal mapping بما يسمى حرف ريندلر Rindler wedge. و لن اقول اكثر من هذا هنا لصعوبة الامر.
عاشرا بعد تمديد طرفى المبدأ الاول للتشابك تمديدا هولوغرافيا اى من ال CFT على الحد الى ال AdS فاننا نقوم بمساواتهما لنحصل على قيد غير-موضعي non-local constraint تخضع له المترية المضطربة لفضاء-زمن دي سيتر الضدى التى تقابل الحالة المثارة ξ#0.
نكتشف بعد حساب طويل جدا اننا نحصل من هذا القيد غير-الموضعى على معادلات اينشتاين الموضعية التى تصف المترية المضطربة لفضاء-زمن دى سيتر الضدى اى معادلات اينشتاين الخطية. التقنية المستعملة هنا هى نفسها التقنية التى نستعملها فى الكهرومغناطيسية للمرور بمعادلات ماكسويل من الشكل التكاملى غير-الموضعى الى الشكل التفاضلى الموضعى و هى تسمى فى النسبية العامة بصياغة ايار Iyer و والد Wald.
وهذا كيف نحصل على الفضاء و الزمن النسبيان الكلاسيكيان كما يعطيان بمعادلات اينشتاين من التشابك الكمومى. هذه النظرية تسمح لنا ايضا بالحصول على الفضاء و الزمن النسبيان الكموميان وهذا عن طريق اخذ التصحيحات الوترية لنظرية الثقالة الممتازة حول فضاء-زمن دى سيتر الضدى بعين الاعتبار.
انظروا التفصيل التقنى الممنهج فى 13 محاضرة على اليوتوب.