ماهى المترية?
وماعلاقتها بالفضاء-زمن و بحقل الجذب الثقالى?
علينا ان نعترف ان الفيزياء النظرية فعلا صعبة ربما اصعب حتى من الرياضيات و الفلسفة و اللغة فهى تتطلب الفيزياء والرياضيات و الفلسفة و اللغة..
ومما يزيد الامر بلة نجد ان طريقة استعمال الفيزيائيين النظريين للغة فيها تعسف كبير..
فمثلا نتحدث عن الفضاء-زمن و نتحدث عن المترية و نتحدث عن الجقل الثقالى و كأنهم نفس الشيء..وهى فعلا اشياء مختلفة لكنها ذات علاقة وطيدة..
لكن بعد تحقيق الفهم فانه يمكنك ان تتعسف و تتصرف و كأن الفضاء-زمن هو المترية و هو نفسه الحقل الثقالى كما يفعل الفيزيائيون النظريون لان تعسفهم هو بعد فهم دقيق للامر و ليس خلط فقط بين المفاهيم...
نبدأ بالمترية metric فهى الاساس..والمترية تعنى لغويا المسطرة فهى المسطرة التى تسمح لنا بقياس و بحساب الاطوال فى الفضاء و الفضاء-زمن...
وعندما نقول فضاء فان هذا يعنى انه يحتوى فقط على المكان..وقد نسميه ايضا الفضاء الاقليدى نسبة الى العظيم اقليدس...
وعندما نقول الفضاء-زمن فان هذا يعنى انه لدينا ايضا زمن بالاضافة الى المكان و قد نسميه ايضا الفضاء-زمن اللورنتزى نسبة للورنتز Lorentz...
نبدأ ببعدين اى بالمستوى..فى هذا الحالة فان المسافة بين اى نقطتين تعطى بمبرهنة فيثاغورس و هو اقدم من اقليدس و هى مبرهنه يعرفها كل مثقف..
نذكر ان مبرهنة فيثاغورس تنص على انه فى المثلث القائم فان مربع طول الوتر يساوى الى مجموع مربع المقابل و مربع المجاور..والوتر فى المثلث القائم هو اطول ضلع..والمقابل و المجاور هما الضلعان المتعامدان..
لو اخترنا محاور فى المستوى بحيث ان المحور العمودى هو y و المحور الافقى هو x كما فى الصورة فان الطول ds بين اى نقطتين فى المستوى (حتى لو كانت نقطتين لا متناهيتين فى القرب من بعضهما البعض) نأخذه كوتر لمثلث قائم ضلعاه هما بالضبط الاسقاطات dx و dy لهذا الطول على المحورين Ox (محور السينات) و Oy (محور العينات) على التوالى..
اذن هذا مثلث قائم ..انظر الصورة الاولى...ومنه يمكن ان نطبق مباشرة مبرهنة فيثاغورس..اذن مربع الوتر اى ds**2 يساوى مجموع مربعى الضلعين القائم والافقى اى dx**2+dy**2..نكتب المعادلة التى اكتشفها فى الحقيقة فيثاغورس الذى كان قبل ارسطو وقبل اقليدس
ds**2=dx**2+dy**2
هذه هى مترية المستوى الاقليدى و هى اول مترية اليوم..وهى صالحة كما كتبتها عمدا حتى لو كانت النقاط لا متناهية فى القرب من بعضها البعض..وهى ايضا تعطى المسافة المستقيمة بين اى نقطتين فى المستوى مهما كانت بعيدتين عن بعضهما البعض...
وحتى نفهم ايضا ان هذه المترية هى مسطرة لحساب و قياس الاطوال نشرح الآن كيف نستعمل هذه المترية لحساب الاطوال فى المستوى للمنحنيات و ليس للخطوط المستقيمة..
نعتبر منحنى فى المستوى معطى بالدالة y=f(x) مثلا الذى فى الصورة الثانية..حتى نحسب طول هذا المنحنى نقسمه الى مجالات لا متناهية فى الصغر بحيث كل مجال هو صغير الى الحد انه يمكن اعتباره قطعة مستقيمة..مثلا فى الصورة قسمنا المنحنى بالنقاط P0, P1,....Pn اى اننا قسمنا المنحنى الى n قطعة مستقيمة..ولان كل مجال هو قطعة مستقيمة فان طوله يعطى بمبرهنة فيثاغورس كما بينا اعلاه وهو يعطى بالضبط بالعلاقة اعلاه..مثلا فى الصورة الثانية رسمنا المثلث القائم المرتكز على النقطتين رقم i-1 و i...بعد ان عرفنا طول كل محال لا متناهى فى الصغر على المنحنى y=f(x) نحسب الطول الاجمالى بأخذ مجموع هذه الاطوال..ولان عدد هذه المجالات لانهائى فان المجموع يصبح التكامل..
اذن طول المنحنى اى منحنى هو تكامل المترية على المنحنى و هذا دائما صحيح من اجل اى فضاء او فضاء-زمن. نكتب اذن
L=\int ds.
التعميم الاول: نغير احد الابعاد مثلا y الى زمن t لنحصل على ما يسمى المستوى اللورنتزى. فى هذه الحالة المترية تعطى باضافة اشارة ناقص فى المعادلة الاولى اعلاه اى
ds**2=dx**2-dt**2
نلاحظ اننا لو غيرنا t ب i*y (حيث i هو العدد التخيلى البحت اى i**2=-1) فان المترية تصبح اقليدية مرة اخرى..هذا هو ما يعرف بتدوير ويك Wick rotation و هى تعنى ان الزمن الاقليدى هو زمن تخيلى او ان الزمن هو مكان مركب..
هذه الفكرة افترضها هاوكينغ فى مقترح انعدام الشرط الحدى the no boundary condition proposal الذى يصف نشأة الكون حيث اعتبر ان الاصل هو المكان و ان الزمن نشأ من المكان عبر تدوير ويك و ليس العكس..وهذه من اروع فكر هاوكنيغ..
التعميم الثانى: لنعمم مترية المستوى الاقليدى الى ثلاثة ابعاد اقليدية اى x و y و z لنحصل على المترية الفضائية
ds**2=dx**2+dy**2+dz**2
التعميم الثالث: لنعمم مترية المستوى اللورنتزى الى فضاء-زمن مينكوسفكى Minkowski الذى هو فضاء لورنتزى و الذى يحتوى على ثلاثة ابعاد مكانية و على زمن حقيقى لنحصل على المترية
ds**2=-dt**2+dx**2+dy**2+dz**2
انتبهوا مرة اخرى الى كيفية تموضع اشارة الناقص امام حد الزمن.
المترية يرمز ايضا لها عموما بالمصفوفة g و فى حالة الفضاء المسطح flat مثل حالة فضاء مينكوفسكى فقد يرمز لها بالمصفوفة eta\...انظر الصورة الثالثة..
مثلا بخصوص المثال اعلاه لدينا
g11=g22=g33=-g00=1
وبقية الاعداد صفر.
يمكن اعادة كتابة الاحداثيات الديكارتية x و y و z بدلالة الاحداثيات الكروية (نصف القطر r و الزوايا theta و alpha على الكرة) لتصبح المترية اعلاه معطاة بالمصفوفة فى الصورة الرابعة..
اذن الفضاء-زمن هو المترية بهذا المعنى..لكن اين هو الحقل الثقالى..كل المتريات اعلاه هى مسطحة لا تحتوى على حقل ثقالى..وكما سنرى فان الحقل الثقالى هو تصحيح على المتريات المسطحة اعلاه و بالتالى فهو ايضا يمكن فهمه على انه المترية نفسها..
المثال الاول نجم و ثقب اسود شوراشيلد Schwarzschild ..فى هذه الحالة نأخذ مترية مينكوفسكى فى الاحداثيات الكروية و نصيف اليها الكمون الثقالى لنيوتن الذى تولده كتلة M موضوعة فى المركز اى
V=2*G*M/c**2*r
حيث G هو ثابت نيوتن و c هى سرعة الضوء.
نحصل على فضاء-زمن او مترية شوارشيلد الموجودة فى الصورة الخامسة..و هو الفضاء-زمن الموجود خارج النجم او خارج الثقب الاسود..
الفرق بين النجم و الثقب الاسود هو ان افق الحدث event horizon بالنسبة للنجم يقع داخل نصف قطره اما بالنسبة للثقب الاسود فهو يقع خارج الثقب..افق الحدث يعطى بالقيمة
r=2*G*M/c**2
المثال الثانى هو مترية الامواج الثقالية المرفقة بجسيم الغرافيتون..انظر الصورة السادسة..
المثال الثالث هو مترية فضاء-زمن دى سيتر de Sitter spacetime المرفق بتوسع الكون خلال عهد التضخم inflation و فى العهد الاخير من عمر الكون الذى ستهيمن عليه الطاقة المظلمة و الذى نحن فى صدد بدايته..انظر الصورة السابعة...
المثال الرابع هو مترية فضاء-زمن دى سيتر العكسى anti-de Sitter spacetime الذى يلعب دور البطولة المطلقة فى الثنائية الثقالية-المعيارية لنظرية الوتر..وهو فضاء خماسى الابعاد و ليس رباعى الابعاد حيث رمزنا للبعد الخامس ب y ...انظر الصورة الثامنة..
وماعلاقتها بالفضاء-زمن و بحقل الجذب الثقالى?
علينا ان نعترف ان الفيزياء النظرية فعلا صعبة ربما اصعب حتى من الرياضيات و الفلسفة و اللغة فهى تتطلب الفيزياء والرياضيات و الفلسفة و اللغة..
ومما يزيد الامر بلة نجد ان طريقة استعمال الفيزيائيين النظريين للغة فيها تعسف كبير..
فمثلا نتحدث عن الفضاء-زمن و نتحدث عن المترية و نتحدث عن الجقل الثقالى و كأنهم نفس الشيء..وهى فعلا اشياء مختلفة لكنها ذات علاقة وطيدة..
لكن بعد تحقيق الفهم فانه يمكنك ان تتعسف و تتصرف و كأن الفضاء-زمن هو المترية و هو نفسه الحقل الثقالى كما يفعل الفيزيائيون النظريون لان تعسفهم هو بعد فهم دقيق للامر و ليس خلط فقط بين المفاهيم...
نبدأ بالمترية metric فهى الاساس..والمترية تعنى لغويا المسطرة فهى المسطرة التى تسمح لنا بقياس و بحساب الاطوال فى الفضاء و الفضاء-زمن...
وعندما نقول فضاء فان هذا يعنى انه يحتوى فقط على المكان..وقد نسميه ايضا الفضاء الاقليدى نسبة الى العظيم اقليدس...
وعندما نقول الفضاء-زمن فان هذا يعنى انه لدينا ايضا زمن بالاضافة الى المكان و قد نسميه ايضا الفضاء-زمن اللورنتزى نسبة للورنتز Lorentz...
نبدأ ببعدين اى بالمستوى..فى هذا الحالة فان المسافة بين اى نقطتين تعطى بمبرهنة فيثاغورس و هو اقدم من اقليدس و هى مبرهنه يعرفها كل مثقف..
نذكر ان مبرهنة فيثاغورس تنص على انه فى المثلث القائم فان مربع طول الوتر يساوى الى مجموع مربع المقابل و مربع المجاور..والوتر فى المثلث القائم هو اطول ضلع..والمقابل و المجاور هما الضلعان المتعامدان..
لو اخترنا محاور فى المستوى بحيث ان المحور العمودى هو y و المحور الافقى هو x كما فى الصورة فان الطول ds بين اى نقطتين فى المستوى (حتى لو كانت نقطتين لا متناهيتين فى القرب من بعضهما البعض) نأخذه كوتر لمثلث قائم ضلعاه هما بالضبط الاسقاطات dx و dy لهذا الطول على المحورين Ox (محور السينات) و Oy (محور العينات) على التوالى..
اذن هذا مثلث قائم ..انظر الصورة الاولى...ومنه يمكن ان نطبق مباشرة مبرهنة فيثاغورس..اذن مربع الوتر اى ds**2 يساوى مجموع مربعى الضلعين القائم والافقى اى dx**2+dy**2..نكتب المعادلة التى اكتشفها فى الحقيقة فيثاغورس الذى كان قبل ارسطو وقبل اقليدس
ds**2=dx**2+dy**2
هذه هى مترية المستوى الاقليدى و هى اول مترية اليوم..وهى صالحة كما كتبتها عمدا حتى لو كانت النقاط لا متناهية فى القرب من بعضها البعض..وهى ايضا تعطى المسافة المستقيمة بين اى نقطتين فى المستوى مهما كانت بعيدتين عن بعضهما البعض...
وحتى نفهم ايضا ان هذه المترية هى مسطرة لحساب و قياس الاطوال نشرح الآن كيف نستعمل هذه المترية لحساب الاطوال فى المستوى للمنحنيات و ليس للخطوط المستقيمة..
نعتبر منحنى فى المستوى معطى بالدالة y=f(x) مثلا الذى فى الصورة الثانية..حتى نحسب طول هذا المنحنى نقسمه الى مجالات لا متناهية فى الصغر بحيث كل مجال هو صغير الى الحد انه يمكن اعتباره قطعة مستقيمة..مثلا فى الصورة قسمنا المنحنى بالنقاط P0, P1,....Pn اى اننا قسمنا المنحنى الى n قطعة مستقيمة..ولان كل مجال هو قطعة مستقيمة فان طوله يعطى بمبرهنة فيثاغورس كما بينا اعلاه وهو يعطى بالضبط بالعلاقة اعلاه..مثلا فى الصورة الثانية رسمنا المثلث القائم المرتكز على النقطتين رقم i-1 و i...بعد ان عرفنا طول كل محال لا متناهى فى الصغر على المنحنى y=f(x) نحسب الطول الاجمالى بأخذ مجموع هذه الاطوال..ولان عدد هذه المجالات لانهائى فان المجموع يصبح التكامل..
اذن طول المنحنى اى منحنى هو تكامل المترية على المنحنى و هذا دائما صحيح من اجل اى فضاء او فضاء-زمن. نكتب اذن
L=\int ds.
التعميم الاول: نغير احد الابعاد مثلا y الى زمن t لنحصل على ما يسمى المستوى اللورنتزى. فى هذه الحالة المترية تعطى باضافة اشارة ناقص فى المعادلة الاولى اعلاه اى
ds**2=dx**2-dt**2
نلاحظ اننا لو غيرنا t ب i*y (حيث i هو العدد التخيلى البحت اى i**2=-1) فان المترية تصبح اقليدية مرة اخرى..هذا هو ما يعرف بتدوير ويك Wick rotation و هى تعنى ان الزمن الاقليدى هو زمن تخيلى او ان الزمن هو مكان مركب..
هذه الفكرة افترضها هاوكينغ فى مقترح انعدام الشرط الحدى the no boundary condition proposal الذى يصف نشأة الكون حيث اعتبر ان الاصل هو المكان و ان الزمن نشأ من المكان عبر تدوير ويك و ليس العكس..وهذه من اروع فكر هاوكنيغ..
التعميم الثانى: لنعمم مترية المستوى الاقليدى الى ثلاثة ابعاد اقليدية اى x و y و z لنحصل على المترية الفضائية
ds**2=dx**2+dy**2+dz**2
التعميم الثالث: لنعمم مترية المستوى اللورنتزى الى فضاء-زمن مينكوسفكى Minkowski الذى هو فضاء لورنتزى و الذى يحتوى على ثلاثة ابعاد مكانية و على زمن حقيقى لنحصل على المترية
ds**2=-dt**2+dx**2+dy**2+dz**2
انتبهوا مرة اخرى الى كيفية تموضع اشارة الناقص امام حد الزمن.
المترية يرمز ايضا لها عموما بالمصفوفة g و فى حالة الفضاء المسطح flat مثل حالة فضاء مينكوفسكى فقد يرمز لها بالمصفوفة eta\...انظر الصورة الثالثة..
مثلا بخصوص المثال اعلاه لدينا
g11=g22=g33=-g00=1
وبقية الاعداد صفر.
يمكن اعادة كتابة الاحداثيات الديكارتية x و y و z بدلالة الاحداثيات الكروية (نصف القطر r و الزوايا theta و alpha على الكرة) لتصبح المترية اعلاه معطاة بالمصفوفة فى الصورة الرابعة..
اذن الفضاء-زمن هو المترية بهذا المعنى..لكن اين هو الحقل الثقالى..كل المتريات اعلاه هى مسطحة لا تحتوى على حقل ثقالى..وكما سنرى فان الحقل الثقالى هو تصحيح على المتريات المسطحة اعلاه و بالتالى فهو ايضا يمكن فهمه على انه المترية نفسها..
المثال الاول نجم و ثقب اسود شوراشيلد Schwarzschild ..فى هذه الحالة نأخذ مترية مينكوفسكى فى الاحداثيات الكروية و نصيف اليها الكمون الثقالى لنيوتن الذى تولده كتلة M موضوعة فى المركز اى
V=2*G*M/c**2*r
حيث G هو ثابت نيوتن و c هى سرعة الضوء.
نحصل على فضاء-زمن او مترية شوارشيلد الموجودة فى الصورة الخامسة..و هو الفضاء-زمن الموجود خارج النجم او خارج الثقب الاسود..
الفرق بين النجم و الثقب الاسود هو ان افق الحدث event horizon بالنسبة للنجم يقع داخل نصف قطره اما بالنسبة للثقب الاسود فهو يقع خارج الثقب..افق الحدث يعطى بالقيمة
r=2*G*M/c**2
المثال الثانى هو مترية الامواج الثقالية المرفقة بجسيم الغرافيتون..انظر الصورة السادسة..
المثال الثالث هو مترية فضاء-زمن دى سيتر de Sitter spacetime المرفق بتوسع الكون خلال عهد التضخم inflation و فى العهد الاخير من عمر الكون الذى ستهيمن عليه الطاقة المظلمة و الذى نحن فى صدد بدايته..انظر الصورة السابعة...
المثال الرابع هو مترية فضاء-زمن دى سيتر العكسى anti-de Sitter spacetime الذى يلعب دور البطولة المطلقة فى الثنائية الثقالية-المعيارية لنظرية الوتر..وهو فضاء خماسى الابعاد و ليس رباعى الابعاد حيث رمزنا للبعد الخامس ب y ...انظر الصورة الثامنة..
No comments:
Post a Comment