حول الهندسة الاقليدية: اقدم و ادق نظام عقلى فى التاريخ.

-بطل القصة هذا اليوم.
-لكن ماهى الهندسة الاقليدية?
-وماهو وضع المسلمة الخامسة?
-ثم ماهو الفضاء الزائدى او فضاء لوباشفسكى بالضبط?
-ملخص: من الكوسمولوجيا و اقليدس الى نظرية الوتر و المسلمة الخامسة.
بطل القصة هذا اليوم.
اما اقليدس الذى عاش فى اليونان حوالى 300 قبل الميلاد فهو ربما اعظم رياضى عاش فى التاريخ..
وكتابه العناصر elements الذى وضع فيه اسس ما يعرف اليوم باسم الهندسة الاقليدية يعتبر نموذج لحد اليوم فى الدقة المنطقية و البنائية و البرهانية التى لا يبقى شك وراءها فى اى عقل كائن من كان..
وهو اول من استخدم فى الرياضيات و بشكل مكثف طريقة البرهان بالنقيض reduction ad absurdum التى نفترض فيها ان القضية النى نريد اثبات صحتها خاطئة ثم نحاول ان نستنتج من هذا تناقض منطقى..وهى اهم طرق الرياضيات و الفيزياء و الفلسفة التى لا غبار عليها الى غاية يومنا هذا...
ولو تذكرتم فاننا دائما نتكلم عن الفضاء-زمن و نقول انه اقليدى او انه لورنتزى..اما الاقليدى فهو بالضبط نسبة الى اقليدس و الى الهندسة الاقليدية...
لكن ماهى الهندسة الاقليدية?
هى اول نظام بديهى شكلى فى التاريخ يعتمد غلى خمسة بديهيات و خمسة مسلمات و طرق برهان معينة (مثلا البرهان بالنقيض) لاستخراج جميغ القضايا الصحيحة و المبرهنات الخاصة بهندسة المستوى الاقليدى و الفضاء الاقليدى و تعميماتهما الى الابعاد العليا.
اقليدس ينطلق من خمسة بديهيات:
-الكل اكبر من الجزء.
-اذا كان A يساوى B و C يساوى B فان A يساوى C. اى ان الشيئان المساويان لنفس الشئ متساويان.
-اذا كان A يساوى B وكان C يساوى D فان A+C يساوى B+D. اى انه اذا جمعت اشيياء متساوية مع اشياء متساوية نحصل على مجاميع متساوية.
-اذا كان A يساوى B وكان C يساوى D فان A-C يساوى B-D. اى انه اذا طرحت اشياء متساوية من اشياء متساوية نحصل على باقيات متساوية.
-اذا كان A اقل من B وكان B اقل من A فان A=B اى ان الشيئان المتطابقان متساويان.
واهم من البديهيات التى تبدو بديهية جدا فهناك المسلمات و هى قضايا صحيحة لكن المسلمة الخامسة تسببت فى مشاكل و اكتشافات عظيمة فيما بعد.
هذه المسلمات هى:
المسلمة الاولى: توجد قطعة مستقيمة واحدة تربط بين اى نقطتين.
المسلمة الثانية: اى قطعة مستقيمة يمكن تمديدها بشكل مستمر الى الخط المستقيم,
المسلمة الثالثة: الدائرة موجودة بأى مركز وبأى قيمة لنصف القطر.
المسلمة الرابعة: جميع الزوايا القائمة متساوية.
المسلمة الخامسة: وهى اشهر مسلماته و تعرف باسم مسلمة التوازى parallel postulate و نتص على ان المستقيمان المتوازيان لا يلتقيان ابدا.
اما المسلمة الاولى فهى فعلا واضحة, المسلمتان الثانية و الثالثة تعبران على ان المستوى و الفضاء لا نهائيان و بدون اى فجوات, اما المسلمة الرابعة فهى اقل وضوحا و تعبر على ان الفضاء متجانس -اى جميع نقاطه متماثلة- و ايزوتروبى isotropic -اى ان جميع الاتجاهات فيه متكافئة-. اذن المسلمة الرابعة تعبر عن ان اى شكل فى أى مكان معين من الفضاء يمكن ان يكون له نفس الهيئة الهندسية لشكل آخر فى مكان آخر من الفضاء و نقول عندئذ ان الشكلان متشابهان congruent...
اذن المسلمات الاربعة تعبر عن فضاء مترى metric متجانس و ايزوتروبى و لا نهائى.
وكما نعرف اليوم فان النتائج الاخيرة للكوسمولوجيا تؤكد بالذات هذه الصورة. اى ان الكون هو فضاء اقليدى ثلاثى الابعاد متجانس و ايزوتروبى و فى غياب اى قرائن اخرى فهو ايضا لا نهائى. اذن اقليدس اصاب عين الصواب منذ 2300 سنة بسبب حياده المطلق و دقته و حذره الخرافيان.
و ماهو وضع المسلمة الخامسة?
اما المسلمة الخامسة فهى اقل وضوحا و تبدو و كأنها مبرهنة بحاجة الى برهان و قد حاول اقليدس بالفعل استخراجها من المسلمات الأخرى لكنه فشل...
وهذه المسلمة هى التى تستعمل فى بناء المربع. فوجود المربع ليس بديهى بالمرة و اقليدس كما ذكرت لكم عبقرى نادر و هو حذر جدا و لهذا اختزل كل الامور التى يحتاجها فعلا حتى يستطيع ان يرسم المربع -فالامر ليس بديهى بالنسبة له وهو فعلا ليس بديهى-..
ومن الامور التى يحتاجها هو مسلمة التوازى...فبدون مسلمة التوازى فان المربع غير موجود..وفعلا لو كان الكون غير اقليدى لما كان المربع موجود على المستويات الكوسمولوجية..اذن كما ترون هو حذر و دقيق جدا جدا...
والمسلمة الخامسة هى التى تؤدى ايضا الى القضية المشهورة فى ان مجموع زوايا اى مثلت تساوى زاويتين قائمتين. و المسلمة الخامسة هى التى تؤدى الى مبرهنة فيثاغورس الفينيقى.
لكن ماذا يحدث لو تخلينا عن مسلمة التوازى. هل سنحصل على تناقض اما اننا سنحصل على شيء جديد.
الكل كان يعتقد انه سنحصل على تناقض, و أكثر من عمل على هذه النقطة ساكشيرى Saccheri الايطالى عام 1733, الذى افترض ان مسلمة التوازى خاطئة وعمل جاهدا على استخراج تناقض فلم ينجح بل العكس كان فشله فشلا ذريعا مع خيبة امل اكبر.
والحقيقة ان ساكشيرى اكتشف ما يعرف اليوم باسم الهندسة الزائدية hyperbolic geometry عندما كان يحاول البرهان على انه مستحيل ان نحصل على اى هندسة جديدة بالتخلى عن مسلمة التوازى مما يعنى ان مسلمة التوازى هى فعلا ضرورية..اذن فى المحصلة هو اكتشف شيئا دون ان يفهمه بالمرة.
فالتخلى عن مسلمة التوازى يؤدى الى الهندسة الزائدية مباشرة و ليس الى تناقض عقلى.
فى هذه الهندسة مسلمة التوازى, مبرهنة فيثاغورس, مجموع زوايا مثلث يساوى 180 كلها قضايا غير صحيحة. وايضا من اجل اى شكل هندسى بحجم معين فانه لا يوجد عموما شكل هندسى مشابه بحجم اكبر.
جاء بعد ذلك الرياضى لامبارت Lambert الذى كان اول من استوعب امكانية ان الهندسة التى نحصل عليها عند التخلى عن مسلمة التوازى قد تكون فعلا موجودة.
مثلا اكتشف ان مجموع زوايا مثلت فى الفضاء الزائدى الذى لا تتحقق فيه مسلمة التوازى هو اقل من 180 درجة هو متناسب بالضبط مع مساحة ذلك المثلث.
انظر المعادلة فى الضورة حيث الفا و بيطا و غاما هى زوايا المثلث و دلتا هى مساحة المثلث و C هو ثابت مقلوب جذره يسمى نصف القطر المزيف pseudo radius.
لكن من المعروف ان المثلث على الكرة يحقق نفس العلاقة لكن باشارة ناقص اضافية لان C يمكن مطابقته مع ناقص مقلوب مربع نصف قطر الكرة.
هذا يعنى ان الفضاء الزائدى يظهر ككرة بنصف قطر تخيلى.
من هنا استنتج لامبارت ان هذا الفضاء يمكن فعلا ان يكون موجود.
بعد ذلك جاء العبقرى غوس Guass فاعاد اكتشاف هذه الامور-لكنه لم ينشرها لانه فى مثل عبقرية اقليدس و ايضا فى مثل حذره- لكنه تيقن مباشرة ان هذا الفضاء الزائدى فعلا موجود و هو مختلف عن الفضاء الاقليدى و عن الكرة فهو موجود بشكل مستقل منفصل كما انهما موجودان.
ثم اعاد اكتشاف هذا الفضاء كل من المحرى بولاى Bolyai و الروسى لوباشفسكى Lobachevsy و الفضاء الزائدى يعرف اليوم ايضا باسم فضاء لوباشفسكى.
ثم ماهو الفضاء الزائدى او فضاء لوباشفسكى بالضبط?
من وجهة نظرنا نحن فى الفضاء الاقليدى فان الفضاء الزائدى يعطى يتمثيلات اكتشف اغلبها الرياضى الايطالى بلترامى Beltrami لكن لا احد منها يحمل اسم بلترامى لان رياضيون آخرون اعادوا اكتشافها و كانوا الاشهر و ايضا الافضل فى استخدامها.
سأركز هنا على التمثيل الكونفورمال conformal representation الذى يسمى ايضا بقرص بوانكريه Poincare disc لان بوانكريه هو الذى اعاد اكتشافه و استعمله ايما استعمال.
فى هذا التمثيل كل الفضاء الزائدى نرسمه داحل قرص فى الفضاء الاقليدى.
انظر الصورة الثانية.
المستقيمات فى هذا الفضاء الزائدى هى اقواس دائرية فى الفضاء الاقليدى تنزل عموديا على الدائرة التى تحد الفضاء.
اما الزاوية فى الفضاء الزائدى فهى نفسها الزاوية التى نعرفها فى الفضاء الاقليدى و لهذا يسمى هذا التمثيل بالتمثيل الكونفورمال -اى التماثلى- لانه يحفظ الزوايا.
المسافة بين اى نقطتين A و B فى هذا الفضاء الزائدى تعطى بالعلاقة اللوغارتمية فى الصورة الثالثة. لفهم هذه العلاقة انظر الصورة الرابعة. نربط النقطتين A و B بالنقطتين P و Q على الدائرة التى تحد الفضاء الزائدى فى التمثيل الكونفورمال. النفطتان P و Q تقعان على الدائرة الاقليدية التى تمر بالنقطتين A و B و التى تنزل على الدائرة الحدية عموديا. نقيس كل المسافات حسب المترية الاقليدية اى كما نحسب المسافات بين النقاط فى الفضاء الاقليدى ثم نأخذ النسبة و نأخذ اللوغاريتم فى الصورة الثالثة. هذه هى المسافة فى الفضاء الزائدى.
ملخص: من الكوسمولوجيا و اقليدس الى نظرية الوتر و المسلمة الخامسة.
اذن لنلخص..اقليدس عبقرى من ادق العباقرة اطلاقا. و هندسته الاقليدية اول نظام بديهى فى الرياضيات. و الكون تؤكد التجارب الحالية قول اقليدس فيه انه اقليدى يحقق مسلماته الخمسة.
اما المسلمة الخامسة فهى شيء لا يمكن ابدا البرهان عليه من داخل الجملة البديهية -اذن هذا مثال على مبرهنة غودل فى النظام البديهى المنسجم لكن غير المكتمل-
لكن عند التخلى عن مسلمته الخامسة للتوازى لا نحصل على تناقض عقلى كما كان الكثير يظن لكن نحصل على فضاء جديد بخواص عجيبة جدا لكنه موجود على الاقل فى العالم الافلاطونى. هذا الفضاء هو الفضاء الزائدى الذى يمكن تصوره على انه دائرة بنصف قطر تخيلى. فى هذا الفضاء مجموع زوايا مثلث هى اقل من 180 درجة و مبرهنة فيثاغورس لا تطبق و غيرها من الخواص.
هذا الفضاء الزائدى رغم انه ليس هو الفضاء التى تؤكد عليه القياسات الكوسمولوجية الاخيرة الا انه الفضاء الذى يلعب الدور الاساسى فى نظرية الوتر فيما يسمى ثنائية ال AdS/CFT فالرمز AdS هو فضاء دى ستير العكسى و هو فضاء زائدى علينا فقط اخذ الاشارة اللورنتزية-اى ان الزمن مختلف عن المكان حسب النسبية- و ليس الاشارة الاقليدية.