جولة فايسبوكية-يوتوبية فى عالم التناظرات

يأتى التناظر على اشكال و انواع..
فهناك تناظر خارجى اى فى الفضاء-زمن و هناك تناظر داخلى اى فى فضاء حالات الجملة اى فضاء هيلبرت..
وهناك تناظرات موضعية local و هذه ما تسمى بالمعيارية gauge و هناك تناظرات شاملة global...
وهناك تناظر مستمر-وهى الاغلبية الساحقة- و هناك تناظر متقطع مثل العكس فى الزمن او العكس الفضاء او عكس الشحنة..
وهناك تناظر مضبوط مثل اغلبية التناظرات فى الفضاء-زمن و هناك تناظر تقريبى لكنه جيد جدا مثل تناظرات عزم اللف النووى او الايزوسبين isospin و تناظرات اليدوانية chiral symmetry..
وحتى التناظرات المضبوطة فانها يمكن ان تنكسر تلقائيا spontaneously broken عندما تختار الجملة تلقائيا-بمعنى تحت تأثير القوى التى تخضع لها فقط- حالة معينة فى فضاء هيلبرت للحالات..
واشهر هذا النوع هو الانكسار التلقائى للتناظر المعيارى الموضعى للقوة الكهروضعيفة electroweak الذى يؤدى الى القوة الكهرومغناطيسية التى نراها فى الطبيعة...وجميع الانكسارات التلقائية هى تحولات طورية من الدرجة الثانية...
و قد ينكسر التناظر بفعل ما يسمى الشذة الكمومية quantum anomlay عندما لا يمكن لتكامل الطريق path integral او دالة التقسيم التى تحسب كل شيء حول حالات الجملة ان يحترم هذا التناظر لاسباب فيزيائية اساسية..واشهر هذا النوع -ومن اشهر الاشياء فى الفيزياء النظرية- ما يعرف بالشذة اليدوانية chiral anomaly و كذلك الشذة الكونفورمالية conformal anomlay..
والشذة الكمومية-بالذال و ليس بالدال من شذ يشذ شذوذا- ليس بالامر الهين فهى عموما ليست بالمرحب بها.. فمثلا التناظرات المعيارية الموضعية لا يمكن ان تعانى من هذا الامر و الا رُمى بالنظرية الى سلة المهملات..اذن شرط غياب الشذة هو شرط كبير جدا على النظرية-مثل شروط الاحادية و اعادة التنظيم- حتى تكون النظرية مقبولة..
اذن التناظر و غيابه عبر اى سبب امر مهم جدا جدا..
وكل تناظر يأتى مرفقا بانحفاظ conservation مقدار فيزيائى نسميه الشحنة..
فمثلا التناظر المعيارى للقوة الكهرومغناطيسية يؤدى الى انحفاظ الشحنة الكهربائية...و التناظر تحت تاثير الانسحابات فى الفضاء-زمن يؤدى الى انحفاظ كمية الحركة و الطاقة..والتناظر تحت تأثير الدورانات يؤدى الى انحفاظ العزم الحركى..وهكذا..وهذه هى مبرهنة نوثر Noether's theorem الشهيرة..
لنركز فى الباقى على التناظرات الخارجية فى الفضاء-زمن..وابسطها الدورانات و اعمها الديفيومورفيزمات diffeomorphisms..
التعميم المباشر للدورانات ياخذنا الى تناظرات بوانكريه Poincare ثم التعميم الموالى يأخذنا الى التحويلات الكونفورمال ثم التعميم الذى يليه ياخذنا الى الديفيومورفيزمات...
الدورانات تهم الميكانيك الكمومى و هى تعطى بالزمرة ٍSO(d) فى بعد d...
الرمز ٍSO نقصد به العمودية الخاصة special orthogonal بمعنى ان الدورانات يعبر عنها بمصفوفات "عمودية" -اى مضروب المصفوفة فى منقولها transpose يساوى واحد- و "خاصة"-اى محدد determinant المصفوفة يساوى واحد-...و مجموعة كل هذه المضفوفات هى ما تشكل الزمرة SO(d)...
تحويلات بوانكريه تضم بالاضافة الى الدورانات على الانسحابات و على تحويلات لورنتز ..فى الفضاء-زمن ببعد d فانها تعطى بالزمرة ٍSO(d-1,1) اما بعد الذهاب الى الفضاء الاقليدى (تدوير ويك Wick rotation) فانها تعطى بالزمرة ٍSO(d) اى تصبح زمرة دورانات محضة لان تحويلات لورنتز النسبية تصبح دورانات عادية تحت تاثير تدوير ويك...
للتذكير فان كل نظرية الحقول الكمومية مبنية على تناظرات بوانكريه...
فمثلا ما نسميه "الجسيم الاولى" هو تمثيلة representation لهذه الزمرة مميزة بعددين كموميين هما الكتلة و السبين وهما العددين المرفقين بمؤثرات كازيمير Casimir التربيعية فى زمرة بوانكريه..
اما التحويلات الكونفورمال فهى تحتوى بالاضافة على تحويلات يوانكريه على تحويلات السلم dilatation -وهى التحويلات التى نضرب فيها كل احداثيات الفضاء بنفس العدد- و تحتوى ايضا على التحويلات الكونفورمال الخاصة-التى هى عبارة عن تركيب انسحاب زائد عكس inversion زائد انسحاب-...
الزمرة الكونفورمال فى الفضاء-زمن هى SO(d,2) وبعد تدوير ويك نحصل على الزمرة SO(d+1,1) ...هذه الزمرة تلعب دورا استراتيجيا فى نظرية الحقول الكونفورمال الجديدة المسماة بالثنائية الثقالية-المعيارية او التقابل AdS/CFT التى تعيش على الفضاء AdS و هو الفضاء دى سيتر العكسى anti-de Sitter..
نلاحظ مثلا ان الزمرة SO(d,2) هى بالضبط زمرة الايزومتريات isometries -وهى التحويلات النقطية التى تحفظ المترية - على فضاء دى سيتر العكسى ببعد d+1....
اعم نوع من التحويلات هى الديفيومورفيزمات و هى اى تحويل نقطى معطى بتطبيق كيفى مهمها كان فقط عليه ان يحقق القابلية للاشتقاق عدد لا نهائى من المرات و ان يقبل التطبيق العكسى..وهذه هى التحويلات النقطية التى تظهر فى النسبية العامة و نظرية الوتر و اى نظرية ثقالة كمومية....
هناك تعميم آخر لهذه التحويلات النقطية او تناظرات الفضاء-زمن هو التناظرات الممتازة او السوبرتناظرات supersymmetry لكن هذا النوع لم يُكتشف بعد-لكننى شخصيا اعتقد انه فعلا موجود فى الطبيعة- و هو يحتاج لتفصيل اكثر ليس هذا وقته و لا مكانه..
انظر هذا الجزء من المحاضرة على اليوتوب لتفصيل هذه النقطة بشكل حى مباشر -ومعذرة على قلة جودة الصوت و الصورة فنحن مازلنا فى مرحلة التجريب فى عملية التسجيل بوسائل مختلفة-...