كيف البرهان على ان 1+1=2?

ننطلق من مسلمات بيانو Peano التى تعرف مجموعة الاعداد الطبيعية التى يرمز لها ب N (وبيانو هو احد آباء المنطق و نظرية المجموعات و اسس الرياضيات):

المسلمة 1: الواحد موجود فى مجموعة الاعداد الطبيعية N...

المسلمة 2: اذا كان x فى N فان العدد الذى يليه هو ايضا فى N و نرمز له ب x+
المسلمة 3: لا يوجد عدد طبيعى x بحيث
x+=1
(يعنى ان الواحد لا يلى اى عدد طبيعى. يمكننا ان ندخل الصفر مع تغيير طفيف فى المسلمات و البرهان)
المسلمة 4: اذا كان x ليس هو الواحد اذن يوجد عدد طبيعى y بحيث
y+=x
المسلمة 5: اذا كانت S مجموعة محتواة فى N و كان الواحد عنصر فى S و كان الاستلزام (اذا كان x فى N فان x+ هو ايضا فى N) صحيحا فان ٍS=N.
بعد ان سلمنا بهذه الامور التى تبدو بديهية لكن لا يمكن البرهان عليها نعرف عملية الجمع بشكل تراجعى..
تعريف: ليكن a و b عنصرين فى N.
اذا كان b=1 نعرف +a+1=a. وهذا باستعمال المسلمتين الاولى و الثانية.
اذا كان b لا يساوى 1 نعرف c+=b حيث c هو فى N باستعمال المسلمة الرابعة.اى ان b هو العدد الذى يلى c.
نعرف الآن +a+b=(a+c).
نعرف ايضا 2 بالعلاقة +1=2.
2 هو فى N بالمسلمتين الاولى و الثانية و بالتعريف.
حتى نرى انه تراجع يكفى ان نتحقق من ان الخطوة الثانية تعطى بدلالة الخطوة الاولى. هذا يضمن ان صحة كل خطوة اخرى ستعطى بدلالة صحة الخطوة التى سبقتها.
اذا كان b=2 فان c+=2 يؤدى مباشرة الى c=1 بالجزء الثانى من التعريف.
اذن
a+2=(a+1)+=(a+)+
حيث استخدمنا الخطوة الاولى من التراجع من اجل b=1. وهو المطلوب.
بعد سلمنا بالخواص الاساسية لمجموعة الاعداد الطبيعية و عرفنا الجمع عليها بشكل تراجعى نقدم المبرهنة التالية:
مبرهنة: 1+1=2
البرهان: استخدم الجزء الاول من التعريف مع a=b=1.
+1=1+1.
استخدم الآن الجزء الثانى من التعريف الذى يعرف +1=2 نحصل مباشرة على النتيجة
1+1=2
وهذا البرهان البيانوى افضل و اسرع من برهان راسل Russell و ووايطهاد Whitehead فى كتابهما البرنسيبيا الرياضية الذى استهلك حوالى 370 صفحة. انظر منشور سابق لى فى هذا الامر منذ سنة و نصف. وقد كان برهان راسل و وايطهاد عام 1910 اول برهان على 1+1=2. الفرق ان راسل و وايطهاد لا يستخدمان الا منطق فرجى Frege فى برهانهما اذن هو اقوى. لكن بيانو يستخدم ايضا نظرية المجموعات كأساس و التى تلعب اليوم دورا اساسيا فى اى نقاش حول اسس الرياضيات.
اذن 1+1=2 التى لا توجد الا فى الذهن حسب افلاطون -و اظنه الرأى الاقرب الى الصحة- تحتاج كل هذا الجهد للبرهنة عليها..اذن يحق لنا جدا ان نتسائل عن كل الرياضيات الاخرى و الاسوء منها كل الفيزياء و الاسوء منهما كل الميتافيزيقا و الفلسفة...
نتعلم ايضا من هذا المثال البسيط و المحدد جدا ان كل برهان يأتى فى نسق بمعنى انه ينبنى ضرورة على مسلمات postulates و احراءات procedures قد يدخلها الشك اذن هو غير مطلق فى المحصلة رغم انه يسمى برهان..وهذا تعبير مبسط جدا عن المبرهنة الشهيرة لغودل حول المنطق و اسس الرياضيات...

حساب المنتشر فى مخططات فايمان

المُنتشر propagator هو المركبة الاساسية الاولى فى مخططات فايمان..
فهو مقدار فيزيائى يربط نقطتين x و y فى الفضاء-زمن الخاص بالنسبية الخاصة و هو يقيس كما وضح فايمان العبقرى -و من جاء قبله مثل ديراك و هايزنبرغ و شرودينغر و غيرهم- احتمال انتقال الجسيم من النقطة x الى النقطة y...
وهناك المنتشر الحر free propagator الذى يحسب عموما بسهولة نسبية و هناك المنتشر المضبوط exact propgator الذى يحتوى بداخله على كل التفاعلات التى يمكن ان يتعرض اليها الجسيم عند انتقاله من النقطة x الى النقطة y...
والمنتشر المضبوط هو ايضا ما يسمى دالة الربط الثنائية two-point correlation function لانه يربط بين حقلين..الحقل الذى دخل من النقطة x و الحقل الذى خرج من النقطة y...
و هناك ايضا دوال ربط ثلاثية -اى تربط بين ثلاثة حقول- ورباعية-اى تربط بين اربعة حقول- و هكذا..و مجموعة دوال الربط هذه تعرف فى مجملها نظرية الحقل الكمومى..اذن معرفتها و حسابها يعنى معرفة نظرية الحقل...
وبندر جدا ان نستطيع ان نحسب المنتشر المضبوط فى نظرية ما بسبب تعقيد التفاعلات الطبيعية...
والتفاعلات يعبر عنها فى مخططات فايمان بعقد vertices -جمع عقدة vertex- وهذه هى المركبة الاساسية الثانية فى هذه المخططات التى تسمح لنا بتصور التفاعل كما يحدث فعلا فى الفضاء-زمن او فى فضاء الطاقة-كمية-الحركة...
وحتى حساب المنتشر الحر فهى مهمة سهلة نسبية فقط و ليست سهلة بالمطلق..
ولمن درس قليلا نظرية الحقل الكمومى فهو يعرف مدى الصعوبة التى نصادفها فى حساب هذه الكمية حتى فى نظرية الاضطرابات...
وهذا التعقيد يزداد اضعافا مضاعفة عندما نريد ان نحسب التصحيحات الكمومية الاولى للمنتشر الحر -اى نشر تايلور للمنتشر المضبوط فى ثابت الاقتران و الذى يكون حده الاول هو المنتشر الحر ثم تأتى التصحيحات الحلقية الاولى one-loop corrections ثم التصحيحات الحلقية الثانية و هكذا..-...
فنضطر عندها الى ادخال نظرية اعادة التنظيم renormalization theory و بعد الحساب و اكتساب الخبرة الذى قد يمتد لسنوات نضطر الى ادخال النظرية الاعظم الاعقد الادق لمعادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation التى تحمل المعنى و المحتوى الحقيقى النهائى لنظرية الحقول الكمومية و هذا امر قلما يهتم او يلتفت اليه الطلبة بسبب قلة اهتمام اساتذهم بهذا الامر..
فنظرية الحقول الكمومية -التى هى تعميم للميكانيك الكمومى- هى آلة ضخمة تسمح لنا بحساب كل شيء و اى شيء لكن بدون معادلة زمرة اعادة التنظيم فهى لا تساوى شيئا لانها لا تعنى شيئا واقصد هذا حرفيا...
اذن حساب المنتشر الحر امر سهل نسبيا, حساب المنتشر المضبوط حسابا اضطرابيا هو امر مخلوط بالوحل الرياضى- الفيزيائى اما حساب المنتشر المضبوط حسابا غير-اضطرابيا فهو امل و هدف يصعب تحقيقه الا نادرا..
لكن هناك استثناء و كل الاستنثاءات فى الفيزياء تعتمد على وجود تناظرات اضافية و استغلالها..
نظرية الحقول الكمومية هى نظرية متناظرة تحت تأثير زمرة بوانكريه Poincare التى تضم الانسحابات و الدورانات و تحويلات لورنتز...
اما نظرية الحقول الكونفورمال فهى اقوى بمراحل لانها بالاضافة الى تناظرها تحت تأثير زمرة بوانكريه فانها متناظرة تحت تأثير تحويلات اضافية فى غاية القوة هى تحويلات السلم (التى هى مثل المجهر او المنظار تُصغر او تُكبر نقاط الفضاء-زمن) و التحويلات الكونفورمال الخاصة (التى هى نوع من العكس مع انسحاب)...
بسبب كل هذه التناظرات الاضافية فان المنتشر المضبوط فى اى نظرية حقل كونفورمال يجب ان يكون متناسبا مع المسافة بين النقطتين x و y التى ينتشر بينهما مرفوعة للقوة
2.a
حيث a هو ما يسمى البعد السلمى scaling dimension للحقل -وهو يرمز له فى الحقيقة ب Delta\- وهو يلعب فى الزمرة الكونفورمال نفس الدور الذى تلعبه الطاقة فى زمرة بوانكريه...
اذن فى نظرية الحقل الكونفورمال ليس لنا ان نحسب المنتشر المضبوط لانه محدد تماما مسبقا بسبب التناظر..
نفس الشيء يحدث لدالة الربط الثلاثية التى تكون محددة تماما بالتناظرات فى اى نظرية حقل كونفورمال..
فقط دوال الربط العليا لا يستطيع التناظر الكونفورمال تحديديها و تبقى مجال حساب فى نظرية الحقل الكونفورمال...

الفرق الرياضي بين المالانهاية الحقيقية و المالانهاية الكامنة

الفرق الرياضي بين المالانهاية الحقيقية و المالانهاية الكامنة
كان اليونان يعشقون الهندسة و الحساب و يمقتون الجبر و التحليل..
والامر بكل بساطة يرجع الى موضوع المالانهاية..
فالكل سيتفق على مفهوم و معنى مثلا العدد اربعة 4 بغض النظر هل المفهوم موجود فقط فى الذهن ..اما كونه موجود فى الواقع فهذا ايضا مجال اتفاق فهناك اربعة تفاحات و اربعة سيارات و اربعة نساء و هكذا...
لكن لن تجد من بين المختصين من يمكنه ان يؤكد فعلا ان مفهومنا للمالانهاية هو نفس المفهوم عند كل الناس..وهذا حتى لو تم قبول وجود المالانهاية فى الذهن رغم ان هذا ايضا ليس موضوع يقبل بتلك السهولة التى يريد ان يصورها لنا البعض ..
اما الواقع الفيزيائى فهو يناقض وجود المالانهاية..فهناك طول اصغرى فى الكون هو طول بلانك و هناك عمر محدود للكون و نتيجته لربما ان حجم الكون يجب ايضا ان يكون محدود..اما الكون المرصود او الذى يُمكن ان يُرصد فى المستقبل فهو فعلا محدود فى الحجم..
اذن الفيزياء او بالاحرى الطبيعة تكذب الرياضيات فى موضوع وجود المالانهاية..
وحتى نرى بشكل ابسط لماذا يفضل اليونان الهندسة على الجبر نأخذ مثلا جذر 2...
هندسيا نحصل على جذر 2 من مثلث قائم متساوى الساقين طول الضلعين يساوى 1..طول الوتر حسب مبرهنة فيثاغورس يساوى بالضيط جذر 2..اذن عدد الخطوات الهندسية لحساب هذا العدد غير المتسامى هو عدد محدود جدا...
لكن اليونان انتبهوا الى ان جذر 2 هو عدد متسامى اذن هو لا يمكن ان يكون كسر او عدد ناطق..نحن نعلم اليوم ان جذر 2 يمكن الحصول عليه مثلا من نشر الدالة جذر 1+x حول 1..عدد الحدود فى هذه السلسلة -سلسلة تايلور الناجمة عن النشر- هو عدد لا نهائى.. هى تبدأ ب 1 ثم نصف و هكذا تتوالى ..و هى سلسلة مقتربة بمعنى ان مجموعها يساوى بالضبط جذر 2...كل هذا لم تتحمله اذواق اليونان العقلية..
ارسطو و هو اكثرهم حذرا و اذكاهم تمكن من الفرز بين نوعين من المالانهاية..وهى المالانهاية الكامنة و المالانهاية الحقيقية او المكتملة..
كمثال على المالانهاية الكامنة نأخذ سلسلة الاعداد الطبيعية
1, 2, 3, 4,,,,,,
هذه السلسة تكبر باستمرار لكنها لا و لن تبلغ ابدا المالانهاية..فالمالانهاية مثل الافق هنا كلما اقتربنا اكثر كلما ابتعد عنا اكثر..هذا ما يسمى بالمالانهاية الكامنة..
وجميع العمليات الرياضية التى تتدخل فيها عملية اخذ النهاية lim فى التحليل هى عمليات تنطوى على مالانهاية كامنة...
وكل الفيزياء هى عمليات اخذ للمالانهاية الكامنة و هذا تقريب جيد جدا للطبيعة التى هى منتهية حسب كل القرائن الموجودة حالية من ثابت بلانك و عمر الكون و ما يمكننا اصلا ان نرصده الآن و فى المستقبل فى هذا الكون...
ومن ظن ان الفيزياء تتعامل مع المالانهاية الحقيقية فهم لم يفهم اذن فكرة الشبكة و فكرة المصفوفة و الفكرة غير-الاضطرابية و غيرها التى تريد الابتعاد عن الصياغة و الاقتراب من الحساب..
اما الرياضيات فلانها تقبل ان تكون فقط فى الذهن فهى تعترف ايضا بالملانهاية الحقيقية و مثال ذلك نأخذ بين حاضنتين مجموعة الاغداد الطبيعية اعلاه
(1.2,3,4...)
فهذه مجموعة الاعداد الطبيعية و هى مجموعة تحتوى على عدد لا نهائى من العناصر اذن هى مالانهاية مكتملة او حقيقية وهى موجودة فعلا فى العالم الافلاطونى للرياضيات الموجود فى الذهن لكن هل هذا العالم وجوده فعلا هو من نفس نوع وجود هذا الكون المادى...
ومما يساعد الرياضيات و يشجعها على قبول المالانهاية الحقيقية هو اننا يمكننا تصويرها هندسيا..يمكننا ان نبنى تقابل اى تطبيق واحد-ل-واحد يأخذ كل عنصر من المستقيم الحقيقى الى عنصر على نصف الدائرة..والمالانهاية السالبة و الموجبة على المستقيم الحقيقى تقابل اطراف نصف الدائرة..اذن المالانهاية الحقيقية التى تعبر عنها مجموعة الاعداد الحقيقية عبرنا عنها هنا بفضاء متضام اى لا يذهب الى المالانهاية..
لكن نصف الدائرة هى نفسها تصور ذهنى مثالى لنصف الدائرة فى الواقع الفيزيائى الذى يبدو انه لا يتمتع بخاصية الاستمرارية لان هناك طول اصغرى هو طول بلانك اذن لا يوجد معنى حقيقى للنقطة فى الواقع المادى..
اذن وجود المالانهاية الكامنة لا خلافى فى الفيزياء و الرياضيات و الفلسفة اما وجود المالانهاية الحقيقية المكتملة فهو المعضلة خاصة فى الفلسفة..الرياضيات و الفيزياء يقبلان كل منهما لكن الطبيعة التى تريد الفيزياء ان تصفها فانها لا يبدو انها تتمتع بتلك الصفة..اما الرياضيات فلانها افلاطونية بطبيعتها و فى اغلبها فهى تتعامل معهما كانهما فعلا موجودتان وهذا كافى بالنسبة لها..

مبرهنة عطية-سينغر

مبرهنة عطية-سينغر Atiyah-Singer Theorem

من اعظم المبرهنات الرياضية التى جعلت الفيزياء النظرية اكثر رياضية و جعلت الرياضيات اكثر فيزيائية هى مبرهنة عطية-سينغر التى تنص على ان عدد الانماط الصفرية zero modes أو الاحداثيات الجمعية collective coordinates التى تصف انسطانطون instanton شحنته الطوبولوجية k فى نظرية حقل معيارى بزمرة SU(N) -اى زمرة تصف القوة النووية الكبرى ب N شحنة لونية color charges مختلفة- يجب ان يساوى
4.k.N
هذا هو بعد الفضاء الذى تعيش فيه التشكيلات الحقلية field configurations المرفقة بالانسطانطون و هو يسمى بفضاء الظويلات moduli space وهو متشعب مركب complex manifold يسمى فضاء كاهلر الفائق hyper--Kahler space..
تذكروا ان الانسطانطون هو شبه-جسيم quasi-particle طوبولوجى يظهر فى النظريات المعيارية وهو تعميم مباشر للمونوبول الى 4 ابعاد..
فالمونوبول المغناطيسيى هو جسيم يعيش فى 3 اما الانسطانطون فهو يعيش فى 4 ابعاد و لهذا فهو شبه-جسيم و ليس جسيم لان الجسيم يجب ان يعيش ضرورة فى 3 ابعاد..
والفرق الآخر ايضا ان المونوبول يظهر فى النظريات المعيارية المنكسرة تلقائيا اما الانسطانطون فهو يظهر فى النظريات المعيارية التى لا تعانى اى انكسار تلقائى..
والانسطانطون اكثر اساسية من المونوبول..فالانسطانطون هو احد النقاط الاصغرية للفعل التى تدخل اذن كتصحيح فى تكامل الطريق اما المونوبول فهو جزء من طيف الجملة الفيزيائية..

الفورتيص و المونوبول و الانسطانطون و نظرية الهوموتوبيا

الفورتيص و المونوبول و الانسطانطون و نظرية الهوموتوبيا:
الساغا الفيزيائية و الرياضية التى تأخذنا من الناقلية و المائعية الممتازتين الى الحبس النووى, الفجوة الكتلية و الانكسار التلقائى للتناظر اليدوانى...
هذا المنشور -الاول من نوعه باللغة العربية - مستمد من محاضراتى التقنية حول الموضوع..يمكن ان تنظروها هنا..
http://algerianphysicist.blogspot.com/…/monopoles-and-insta…
انظرونا ايضا على صفحتنا
https://www.facebook.com/BadisYdri/
ومن التشكيلات الحقلية الطوبولوجية نجد:
- اولا الفورتيص vortex -جمع فورتيصات vortices- فى بعد 2+1 حيث 2 هو الفضاء و 1 هو الزمن بزمرة معيارية U(1)-اى الكهرومغناطيسية-...اذن فى هذه الحالة فان الفضاء الذى هو المستوى تحده دائرة كما ان الزمرة U(1) هى نفسها مكافئة طوبولوجيا لدائرة..نشير ان الحقل يعيش فى الزمرة U(1) اى على الدائرة الحقلية...
اذن اذا درنا حول الدائرة الفضائية مرة واحدة فان الحقل غير-الهين non-trivial المرفق بالفورتيص يمكنه ان يدور او يلف حول الدائرة الحقلية عدد k من المرات و لهذا يسمى k عدد اللف winding number...
و عدد اللف هو بالضبط الشحنة الطوبولوجية topological charge للفورتيص...
والفورتيصات هى ما يفسر بصورة نهائية اساسية الناقلية الممتازة super conductivity و المائعية الممتازة super fluidity مثل التى تحدث فى الهيليوم 4...
انظر الصورة الاولى التى تصور انواع مختلفة من الفورتيصات..
-ثانيا المونوبول monopole -جمع مونوبولات monopoles- فى بعد 3+1 حيث 3 هو الفضاء و 1 هو الزمن بزمرة معيارية SU(2) -اى القوة النووية الكبرى بشحنتين نوويتين فقط-..
انظر الصورة الثانية التى تصور مونوبول كلاسيكى..
والمونويول جسيم لكنه ليس بجسيم اولى بل جسيم طوبولوجى فى الصياغة المغناطيسية العادية للنظرية..اما بعد الذهاب عبر الثنائية الكهربائية-المغناطيسية electric-magnetic duality الى الصياغة الكهربائية للنظرية فان المونوبول يصبح جسيم اولى اما الالكترون فيصبح طوبولوجى!!...
والمونوبول لا يظهر الا عند الانكسار التلقائى spontaneous breaking للتناظر المعيارى SU(2) عبر ميكانيزم هيغز Higgs mechanism...
لكن فى هذه الحالة فان الفراغ الكمومى quantum vaccum منحل degenerate و هذا يعنى مما يعنيه ان الحقل لا ينتمى الى الزمرة SU(2) لكن ينتمى الى الكوساط coset المعطاة ب SU(2)/U(1)....
و الكوساط هى زمرة مضاف عليها علاقة تكافؤ...
فى هذه الحالة فان الفضاء هو الفضاء الثلاثى و تحده كرة و ايضا فان الكوساط SU(2)/U(1) اين يعيش الجقل المونوبولى هى مكافئة طوبولوجيا لكرة..
اذن اذا درنا حول الكرة الفضائية فان الحقل غير-الهين الطوبولوجى المرفق بالمونوبول يلف عدد k من المرات حول الكرة الحقلية اين يعيش...عدد اللف k هو بالضبط الشحنة المغناطيسية التى هى شحنة طوبولوجية للمونوبول..
اذن الشحنة المغناطيسية هى مكممة لانها هى عدد لف..وهذا من اقوى البراهين على تكميم الشحنة...هذا النوع من البراهين الطوبولوجية يسمى نظرية الهوموتوبيا homotopy theory...
ودور المونوبول استراتجيى فى ظاهرة الحبس confinment و ظاهرة كسر التناظر اليدوانى chiral symmetry breaking و ظاهرة الفجوة الكتلية mass gap فى الكروموديناميك اللونى quantum chromodynamics الذى يصف القوة النووية الكبرى..
ويُعتقد ان هذا الدور يشبه دور الفورتيص فى الناقلية الممتازة و المائعية الممتازة..
-ثالثا الانسطانطون instanton -جمع انسطانطونات instantons- فى بعد 3+1 الذى يصبح بعد تدوير ويك Wick rotation فضاء اقليدى ببعد 4....فى هذه الحالة نأخذ ايضا الزمرة SU(2) لمحاكاة تصرف القوة النووية الكبرى...وايضا فى هذه الحالة لا يوجد انكسار تلقائى للتناظر المعيارى...
الفضاء الاقليدى الرباعى تحده الكرة الثلاثية فى المالانهاية- هل يمكنكم تصور ذلك- كما ان الزمرة SU(2) هى مكافئة طوبولوجيا للكرة فى ثلاثة ابعاد...اذن اذا درنا حول الكرة الثلاثية الفضائية مرة واحدة فان الحقل غير-الهين المرفق بالانسطانطون و الذى يعيش فى الكرة الثلاثية الحقلية يلف عدد k من المرات..مرة اخرى فان نظرية الهوموتوبيا تنص على ان الشحنة الطوبولوجية مكممة تساوى بالضبط الى عدد اللف...
الانسطانطون ليس بجسيم بل هو شبه-جسيم quasi-particle لانه اذا كان المونوبول هو نقطة فى الفضاء العادى فان الانسطانطون هو نقطة فى الفضاء-زمن و لهذا فهو حدث event و هذا ما يسمى شبه-جسيم..
لكن الانسطانطون اكثر اساسية من المونوبول...
فبوجود المونوبول يحدث انكسار تلقائى للتناظر مما يعنى ان جريان running ثابت الاقتران coupling constant المعيارى -حسب معادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation- يتوقف اى يمكننا ان نأخذ ثابت الاقتران صغير ونحسب فى نظرية الاضطرابات..
هنا يمكن ان يدخل الانسطانطون-لان ثابت الاقتران صغير- و يسمح لنا بتعميم نظرية الاضطرابات العادية الى ما يسمى التقريب شبه-الكلاسيكى semi-classical approximation..للاشارة فان نظرية الاضطرابات العادية تكافئى الانسطانطون الهين trivial ذو الشحنة صفر...ايضا فان الانسطانطون هو المسؤول عن ظاهرة النفق الكمومية quantum tunneling التى تسمح للجملة للانتقال من قطاع طوبولوجى الى قطاع طوبولوجى مختلف..
مثلا حل سايبرغ Seiberg و ويتن Witten الشهير للنظرية المعيارية الممتازة فى اربعة ابعاد بزمرة SU(2) هو قائم بالضبط على التقريب شبه-الكلاسيكى اى حساب كل التصحيحات الكمومية للنظرية الراجعة للانسطانطونات بعد ان تسببت المونوبولات فى الكسر التلقائى للتناظر و قطع جريان ثابت الاقتران...
اما من الناحية الرياضية البحتة فان الانسطانطونات لعبت دورا استراتيجيا فى وصف هندسة الفضاءات فى اربعة ابعاد..ويبقى الانسطانطون اهم الاكتشافات على الاطلاق التى جعلت الفيزياء النظرية رياضية اكثر و جعلت الرياضيات اكثر اهتماما بالفيزياء النظرية...
واظن ان هذا اول شرح عربى لهذه الامور الفيزيائية-الرياضية المعقدة على قدر المستطاع..واظن اننى لم ارى حتى بالانجليزية شرحا مبسطا للنقاط اعلاه التى تربط الفيزيائى بالطوبولوجى بشكل لا يمكن لاحدهما ان يستغنى عن الآخر..

جولة فايسبوكية-يوتوبية فى عالم التناظرات

يأتى التناظر على اشكال و انواع..
فهناك تناظر خارجى اى فى الفضاء-زمن و هناك تناظر داخلى اى فى فضاء حالات الجملة اى فضاء هيلبرت..
وهناك تناظرات موضعية local و هذه ما تسمى بالمعيارية gauge و هناك تناظرات شاملة global...
وهناك تناظر مستمر-وهى الاغلبية الساحقة- و هناك تناظر متقطع مثل العكس فى الزمن او العكس الفضاء او عكس الشحنة..
وهناك تناظر مضبوط مثل اغلبية التناظرات فى الفضاء-زمن و هناك تناظر تقريبى لكنه جيد جدا مثل تناظرات عزم اللف النووى او الايزوسبين isospin و تناظرات اليدوانية chiral symmetry..
وحتى التناظرات المضبوطة فانها يمكن ان تنكسر تلقائيا spontaneously broken عندما تختار الجملة تلقائيا-بمعنى تحت تأثير القوى التى تخضع لها فقط- حالة معينة فى فضاء هيلبرت للحالات..
واشهر هذا النوع هو الانكسار التلقائى للتناظر المعيارى الموضعى للقوة الكهروضعيفة electroweak الذى يؤدى الى القوة الكهرومغناطيسية التى نراها فى الطبيعة...وجميع الانكسارات التلقائية هى تحولات طورية من الدرجة الثانية...
و قد ينكسر التناظر بفعل ما يسمى الشذة الكمومية quantum anomlay عندما لا يمكن لتكامل الطريق path integral او دالة التقسيم التى تحسب كل شيء حول حالات الجملة ان يحترم هذا التناظر لاسباب فيزيائية اساسية..واشهر هذا النوع -ومن اشهر الاشياء فى الفيزياء النظرية- ما يعرف بالشذة اليدوانية chiral anomaly و كذلك الشذة الكونفورمالية conformal anomlay..
والشذة الكمومية-بالذال و ليس بالدال من شذ يشذ شذوذا- ليس بالامر الهين فهى عموما ليست بالمرحب بها.. فمثلا التناظرات المعيارية الموضعية لا يمكن ان تعانى من هذا الامر و الا رُمى بالنظرية الى سلة المهملات..اذن شرط غياب الشذة هو شرط كبير جدا على النظرية-مثل شروط الاحادية و اعادة التنظيم- حتى تكون النظرية مقبولة..
اذن التناظر و غيابه عبر اى سبب امر مهم جدا جدا..
وكل تناظر يأتى مرفقا بانحفاظ conservation مقدار فيزيائى نسميه الشحنة..
فمثلا التناظر المعيارى للقوة الكهرومغناطيسية يؤدى الى انحفاظ الشحنة الكهربائية...و التناظر تحت تاثير الانسحابات فى الفضاء-زمن يؤدى الى انحفاظ كمية الحركة و الطاقة..والتناظر تحت تأثير الدورانات يؤدى الى انحفاظ العزم الحركى..وهكذا..وهذه هى مبرهنة نوثر Noether's theorem الشهيرة..
لنركز فى الباقى على التناظرات الخارجية فى الفضاء-زمن..وابسطها الدورانات و اعمها الديفيومورفيزمات diffeomorphisms..
التعميم المباشر للدورانات ياخذنا الى تناظرات بوانكريه Poincare ثم التعميم الموالى يأخذنا الى التحويلات الكونفورمال ثم التعميم الذى يليه ياخذنا الى الديفيومورفيزمات...
الدورانات تهم الميكانيك الكمومى و هى تعطى بالزمرة ٍSO(d) فى بعد d...
الرمز ٍSO نقصد به العمودية الخاصة special orthogonal بمعنى ان الدورانات يعبر عنها بمصفوفات "عمودية" -اى مضروب المصفوفة فى منقولها transpose يساوى واحد- و "خاصة"-اى محدد determinant المصفوفة يساوى واحد-...و مجموعة كل هذه المضفوفات هى ما تشكل الزمرة SO(d)...
تحويلات بوانكريه تضم بالاضافة الى الدورانات على الانسحابات و على تحويلات لورنتز ..فى الفضاء-زمن ببعد d فانها تعطى بالزمرة ٍSO(d-1,1) اما بعد الذهاب الى الفضاء الاقليدى (تدوير ويك Wick rotation) فانها تعطى بالزمرة ٍSO(d) اى تصبح زمرة دورانات محضة لان تحويلات لورنتز النسبية تصبح دورانات عادية تحت تاثير تدوير ويك...
للتذكير فان كل نظرية الحقول الكمومية مبنية على تناظرات بوانكريه...
فمثلا ما نسميه "الجسيم الاولى" هو تمثيلة representation لهذه الزمرة مميزة بعددين كموميين هما الكتلة و السبين وهما العددين المرفقين بمؤثرات كازيمير Casimir التربيعية فى زمرة بوانكريه..
اما التحويلات الكونفورمال فهى تحتوى بالاضافة على تحويلات يوانكريه على تحويلات السلم dilatation -وهى التحويلات التى نضرب فيها كل احداثيات الفضاء بنفس العدد- و تحتوى ايضا على التحويلات الكونفورمال الخاصة-التى هى عبارة عن تركيب انسحاب زائد عكس inversion زائد انسحاب-...
الزمرة الكونفورمال فى الفضاء-زمن هى SO(d,2) وبعد تدوير ويك نحصل على الزمرة SO(d+1,1) ...هذه الزمرة تلعب دورا استراتيجيا فى نظرية الحقول الكونفورمال الجديدة المسماة بالثنائية الثقالية-المعيارية او التقابل AdS/CFT التى تعيش على الفضاء AdS و هو الفضاء دى سيتر العكسى anti-de Sitter..
نلاحظ مثلا ان الزمرة SO(d,2) هى بالضبط زمرة الايزومتريات isometries -وهى التحويلات النقطية التى تحفظ المترية - على فضاء دى سيتر العكسى ببعد d+1....
اعم نوع من التحويلات هى الديفيومورفيزمات و هى اى تحويل نقطى معطى بتطبيق كيفى مهمها كان فقط عليه ان يحقق القابلية للاشتقاق عدد لا نهائى من المرات و ان يقبل التطبيق العكسى..وهذه هى التحويلات النقطية التى تظهر فى النسبية العامة و نظرية الوتر و اى نظرية ثقالة كمومية....
هناك تعميم آخر لهذه التحويلات النقطية او تناظرات الفضاء-زمن هو التناظرات الممتازة او السوبرتناظرات supersymmetry لكن هذا النوع لم يُكتشف بعد-لكننى شخصيا اعتقد انه فعلا موجود فى الطبيعة- و هو يحتاج لتفصيل اكثر ليس هذا وقته و لا مكانه..
انظر هذا الجزء من المحاضرة على اليوتوب لتفصيل هذه النقطة بشكل حى مباشر -ومعذرة على قلة جودة الصوت و الصورة فنحن مازلنا فى مرحلة التجريب فى عملية التسجيل بوسائل مختلفة-...

الجبرية الكونفورمالية الممتازة

الجبرية الكونفورمالية الممتازة بتناظر ممتاز واحد..
الرمز T هو تنسور الطاقة-كمية-الحركة العادى لجبرية فيراسورو Virasoro (الخط الأول) وهو ذو سبين يساوى 2 (لانه مرفق بالغرافيتون)..
الجد الاول فى المعادلة الاولى هو مايسمى بالشحنة المركزية central charge و هو مشهور جدا جدا و هذا راجع الى الشذة الكونفورملية conformal anomaly التى تعنى من بين ما تعنية ان التناظر الكونفورمال ينكسر بتأثير التفاعلات الكمومية..
اما الرمز T_F فهو التنسور الاضافى و هو ذو سبين يساوى 1.5 وهو ما نضيفه لنحصل على جبرية فيراسورو الممتازة ادناه..
اذن نجد هنا تناظر كونوفورمال بالاضافة الى التناظر الممتاز...
هذه الجداءات تسمى النشر الجدائى المؤثري operator product expansion وهى من اهم الحسابات التى يجب القيام بها بصورة مستفيضة حتى ينجلى المعنى الفيزيائى الغارق تماما فى المعنى الرياضى بالكامل...
مثل هذه المعادلات تلخص من جهة جميع نظريات الحقول الكونفورمال التى تتميز بهذه الجبرية -اى بهذه الشحنة المركزية- و من جهة اخرى تلخص نظرية الزمر التى تنبنى عليها هذه التناظرات التى تعبر عنها الجبرية..