LATEX

معادلة زمرة اعادة التنظيم



النظرية الأساسية التى تصف المادة هى نظرية الحقول الكمومية quantum field theory..
وهى نظرية يتم فيها توحيد مبادئ الميكانيك الكمومى مع مبادئ النسبية من أجل وصف عالم الجسيمات الأولية...
وهذا ما يعرفه الكل..
لكن الذى يغيب عن ذهن الكثير حتى من المختصين هو ان الآلة الرياضية التى تجعل نظرية الحقل الكمومى من أدق ما كتبه الانسان فى وصف الظواهر الطبيعية هو معادلة تسمى معادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation...
وهذه المعادلة بالاضافة الى تقديمها المحتوى الفيزيائى لنظرية الحقل و ضبطها للالة الرياضية التى تقوم عليها نظرية الحقل فانها ايضا تُؤسس -حسب فهم ويلسن Wilson- للفلسفة التى تقوم عليها نظرية الحقل..
ففهم وليسن لهذه المعادلة فى اطار تكامل الطريق path integral وتناظراته و الذى تم فيه مزج فيزياء الجسيمات بفيزياء المادة المكثفة هو ما يُعول عليه فعلا فى رؤية ماهية نظرية الحقل و ليس نظرة وينبرغ Weinberg مثلا التى تعتمد كثيرا على مصفوفة التصادم S-matrix و تناظراتها...
وهى مع كل هذا معادلة يصعب جدا شرحها و كذا فهمها لكنها تقوم فى نظرية الحقل الكمومى مقام العمودى الفقرى من الجسم..
فنظرية معادلة زمرة اعادة التنظيم هى نظرية نظرية الحقل او ميتانظرية meta-theory...
كما أنها آلة حسابية هائلة تقدم التأسيس غير الاضطرابى non-perturbative للفيزياء الكمومية مثلها مثل طرق مونتى كارلو Monte Carlo العددية..
فمن الناحية غير الاضطرابية فان معادلة اعادة التنظيم هى الجناح التحليلى اما طريقة مونتى كارلو فهى الجناح العددى..
معادلة اعادة التنظيم تقدم ايضا اختزال هائل لنظرية الحقل الكمومى نحو نظرية الحقل الكونفورمال conformal field theory اى نظرية الحقل التى تتميز بتناظرات اضافية-فوق الدورانات و الانسحابات- هى تناظرات السلم scale transformations التى يتم فيها تغيير المسافات و الازمان بنفس المقدار السلمى دون ان تتغير النظرية..
اذن حسب معادلة اعادة التنظيم فان نظرية الحقل هى اما نظرية حقل كونفورمال او انها نظرية حقل بصدد التتطور نحو نظرية حقل كونفورمال...
حتى اشرح معادلة اعادة التنظيم اعود الى الميكانيك الاحصائى حيث تلعب المعادلة هناك دورا جوهريا فى تفسير التحولات الطورية من الدرجة الثانية second order phase transition و نأخذ كمثال ما يعرف بنموذج ايزينغ Ising..
نتصور اذن شبكة lattice من النقاط فى بعدين..حيث يوجد فى كل نقطة ذرة او الكترون بعزم لف (سبين spin) يمكن ان يأخذ احد قيمتين اما +1 او -1..
اذن هذا هو تصورنا للمادة ..
وسائط parameters هذه الجملة هى ثابت الاقتران coupling constant بين مختلف عزوم اللف و نرمز له ب J و درجة الحرارة T...
نفترض ان قوى الاقتران بين عزوم اللف او السبينات هى قوى الجوار الاقرب nearest neighbor بمعنى ان كل ذرة فى الشبكة لا تتفاعل الا مع الذرات المجاورة لها مباشرة و هى اربعة ذرات فى حالة شبكة ذات بعدين..
اذن اذا كانت عزوم اللف كلها متوجهة فى اتجاه واحد- وهذا تحت تأثير قوى الاقتران J- فان الشبكة تتصرف مثل المادة المغناطيسية فمجموع السبينات او عزوم اللف هو بالضبط العزم المغناطيسيى و هو غير معدوم فى هذه الحالة..
اما اذا كانت اتجاهات عزوم اللف او السبينات موزعة بشكل عشوائى-وهذا تحت تأثير درجة الحرارة- فاننا نحصل على عزم مغناطيسيي معدوم و فى هذه الحالة فان المادة حديدية..
اذن نموذج ايزينغ يصف التحول الطورى من الدرجة الثانية من المادة المغناطيسية العادية -وتسمى الطور الفيرومغناطيسي ferromagnetic- الى المادة الحديدة العادية -وتسمى الطور البارامغناطيسيى paramagnetic -..
وهو يقع عند درجة حرارة حرجة معينة Tc -درجة حرارة كورى Curie- وعند ثابت اقتران حرج معين Jc -ثابت اقتران كورى-...
الاعظم من هذا ان نموذج ايزينغ يصف ايضا اى تحول طورى من الدرجة الثانية آخر فى الطبيعة مثلا التحول من البخار الى السائل فى الماء...
وهذا لا يمكن تفسيره الا بمعادلة اعادة التنظيم...
لانه عند التحول الطورى فان الخواص الحرجة critical properties للجملة الفيزيائية لا تتعلق الا بالتقلبات fluctuations ذات الطول الموجى الطويل -اى الطاقات المنخفضة- و لا تتتعلق تماما بالتقلبات ذات الطول الموجى القضير-اى الطاقات العليا- ...
اذن تفاضيل الجملة الفيزيائية -هل هى مادة مغناطيسية او ماء او مائع ممتاز او ناقل ممتاز او سبيكة ثنائية binary alloy- ذات العلاقة بدرجات الحرية degrees of freedom الذرية ذات الطاقة العليا لا تدخل فى فيزياء التحول الطورى الذى تخضع له الجملة و بالتالى يجب التخلص منها -اى أخذ المتوسط عليها- و هذه عملية تسمى التحبيب الخشن coarse graining...
اذن فى المحضلة نجد نموذج بسيط مثل نموذج ايزينغ -الذى اقترحه لنز Lenz على ايزينغ فى رسالة الدكتوراة- يصف كل التحولات الطورية من الدرجة الثانية اعلاه..انظر الصورة الاولى من اجل هاميلتونية -اى طاقة- نموذج ايزينغ..
ايزينغ فى راسلته للدكتوراة تمكن من حل النموذج فى بعد واحد لكن فى بعدين فان الحل وجده وجده فيما بعد الكيميائى العبقرى اونصاغر Onsager -وأخذ من اجل ذلك نوبل فى الكيمياء- اما فى ثلاثة ابعاد فقد حاول و مازال الكثير من عباقرة الفيزياء النظرية ايجاد الجل لكن بدون اى نجاح يذكر لحد اليوم...
أول من طبق التحبيب الخشن على نموذج ايزينغ هو كادانوف Kadanoff عام 1966 وهو ما اصيح يُعرف اليوم بعزم اللف او السبين الكتلي block spin...
اذن نُقسم الشبكة الى كتل اى حجرات تحتوى كل حجرة على b^2 عزم لف...اى ان كل حجرة تتشكل من b ذرة او عزم لف فى الاتجاه x و من b ذرة او عزم لف فى الاتجاه y...اذن عدد الذرات فى كل حجرة هو b^2...
الآن نعوض عزوم اللف فى كل حجرة بمتوسطها...اذا كان المتوسط موجب نأخذ عزم اللف فى الحجرة يساوى +1 و اذا كان المتوسط سالب نأخذ عزم اللف فى الحجرة -1 اما اذا اكان المتوسط معدوم فاننا ننتقى عزم لف كيفى فى الحجرة كممثل عنها..
هذا السبين المتوسط فى كل حجرة هو ما نسميه بالسبين الكتلة او السبين الكتلى..اذن مجموع السبينات فى الشبكة يتم تعويضها بسينات كتلية...
اذن الشبكة الاولى التى كانت تحتوى على N ذرة تُعوض بشبكة بديلة يكون فيها عدد الذرات اقل ب b^2 اى N/b^2....و كونها تحتوى على عدد اقل من الذرات يجعلها اسهل للدراسة..
لكن من الجهة المقابلة فان الفسحة الشبكية lattice spacing فى الشبكة البديلة زادت ب b مرة...فى الحقيقة فان كل المسافات فى الشبكة البديلة قد زادت ب b مرة...فاذا كانت السبينات فى الشبكة الاصلية مرتبطة correlated عبر n فسحة شبكية فان السبينات الكتلية فى الشبكة البديلة تكون مرتبطة عبر n/b فسحة....انظر الصورة الثانية..
الشبكة البديلة هى ما يسمى بشبكة التحبيب الخشن coarse-grained lattice او الشبكة الخشنة اختصارا وايضا تسمى الشبكة المعاد تنظيمها renormalized lattice..
الخطوة الثانية وتسمى عملية اعادة السلم rescaling و هى العودة بالشبكة الخشنة الى الطول الاصلى وهذا ضرورى حتى يمكننا المقارنة فعلا بين الشبكة الاصلية و الشبكة الخشنة..
بعد كل هذا فان كادانوف اكتشف ان الشبكة الخشنة يجب ان تكون موصوفة بهاميلتونية -اى طاقة- هى نفسها هاميلتونية الشبكة الاصلية لكن عوض السبينات تظهر السبيات الكتلية و عوض ثابت الاقتران J يظهر ثابت اقتران حشن 'J و عوض درجة الحرارة T تظهر درجة حرارة خشنة 'T...
اذن حسب كادانوف فان جملة السبينات الخشنة هى طريقة اخرى لكن افضل فى وصف الجملة الفيزيائية بالقرب من التحول الطورى...وهى طريقة افضل لان التقلبات ذات الطول الموجى القصير تم أخذ المتوسط عليها فى السبينات الكتلية...
اذن عملية التحبيب الخشن اولا متبوعة ثانيا بعملية اعادة السلم هى ما يسمى بتحويل زمرة اعادة التنظيم renormalization group trtansformation ..
تحت تأثير هذا التحويل فان السبينات تتحول الى سبينات كتلية لكن هذا غير مهم فى الجمل الفيزيائية اللانهائية -وهى ما نجده فى الطبيعة و هذا ما سنقوم به ايضا عندما نأخذ النهاية المستمرة continuum limit للجملة فى الفيزيائية بجعل الشبكة لا نهائية و جعل الفسحة الشبكية صفر-...
لكن ايضا تحت تأثير تحويل اعادة التنظيم فان ثوابت الربط تتغير.. فمثلا ثابت الاقتران J و درجة الحرارة T تتحولان نحو درجة اقتران خشن J' و درجة حرارة حشنة T'...
الذى يحدث ان الوسائط الخشنة يمكن التعبير عنها بدلالة الوسائط الاصلية وهذا بالضبط ما يسمى بمعادلة زمرة اعادة التنظيم...
مثلا اذا رمزنا الى ثوابت الربط ب K و الى تحويل زمرة اعادة التنظيم ب R فان ثوابت الربط الخشنة التى يرمز لها ب 'K تعطى ب
K'=R(K)
عموما فان معادلة زمرة اعادة التنظيم هى معادلة معقدة جدا: تكاملية-تفاضلية-جبرية فى نفس الوقت و حلها يتطلب طرق تقريبية معقدة هى الآخرى لكن اهم ما تعطينا هى الفيزياء الكمومية غير الاضطرابية للجملة الفيزيائية فى هذه الحالة عند التحول الطورى حيث تكون التفاعلات قوية جدا...
هذه المعادلة تسمى معادلة زمرة اعادة تنظيم لانها تعيد تنظيم ثوابت الاقتران و تسمى زمرة لانها تحقق خاصية الزمرة بمعنى انه اذا كانت R1 و R2 هى تحويلات زمرة اعادة التنظيم فان التركيب R1R1 هو ايضا تحويل زمرة اعادة التنظيم..لكن هذه التحويلات لا تشكل تماما زمرة لان التحويل العكسى غير موجود اى ان السبينات الكتلية لا يمكن الرجوع بها الى السبينات الاصلية..
ثوابت الاقتران K تتغير اذن تحت تأثير معادلة زمرة اعادة التنظيم..نقول انها تجرى تحت تأثير معادلة زمرة اعادة التنظيم ونسميها ثوابت الاقتران الجراية running coupling constant...و هى ايضا تسمى بثوابت الاقتران المعاد تنظيمها renormalized coupling constants..
اذن لا نحتاج بعد الآن الى التمييز بين القيم الاصلية لثوابت الاقتران التى انطلقنا منها و القيم الخشنة التى توصلنا اليها..فهى فقط ثوابت تجرى تحت تأثير تحت تأثير معادلة زمرة اعادة التنظيم..
لكن الى اين تجرى بالضبط?
هذه هى القوة الكبرى لمعادلة زمرة اعادة التنظيم..
لو كررنا تحويل زمرة اعادة التنظيم عدة مرات حتى نصل الى التصرف الفيزيائى على المسافات الطويلة..
فنذهب من J1,T1 الى J2,T2 فى خظوة اعادة التنظيم الاولى ..ثم نذهب من J2,T2 الى J3,T3 فى خطوة اعادة التنظيم الثانية..وهكذا..
فاننا سنصل بعد عدد كافى من الخطوات و بشكل تلقائى الى النقاط الثابتة fixed points لمعادلة زمرة اعادة التنظيم...وهى النقاط التى اذا وصلنا اليها لا يمكن ابدا لتحويل زمرة اعادة التنظيم ان يخرجنا منها مرة اخرى..
بالنسبة لنموذج ايزينغ اعلاه نجد ثلاثة نقاط ثابتة..
-اولا درجة الحرارة صفر. و ثابت الاقتران لا نهائى..هذا يعبر عن الطور الفيرومغناطيسى الذى يتميز بمغنظة دائمة للجملة اى كل السبيات تتوجه فى نفس الاتجاه..
-ثانيا درجة الحرارة لا نهائية و ثابت الاقتران صفر..هذا يعبر عن الطور البارامغناطيسى الذى يتميز بمغنطة معدومة اى ان السبينات تتوزع عشوائيا بين +1 و -1...
-ثالثا درجة حرارة حرجة Tc و ثابت اقتران حرج Jc هما بالضبط القيم الحرجة لكورى التى يقع عندها التحول الطورى من الدرجة الثانية من الفيرومغناطيسية الى البارامغناطيسية و العكس...
اذن التحول الطورى المغناطيسي -وكل التجولات الطورية من الدرجة الثانية الاخرى- تظهر كنقطة ثابتة لمعادلة زمرة اعادة التنظيم وهى نقطة شهيرة جدا تسمى النقطة الثابتة لويلسون و فيشر Wilson-Fisher fixed point..
فى هذه النقطة فان الجملة تصبح متناظرة تحت تأثيرات التجويلات السلمية -وهى كما ذكرنا التحويلات التى يتم فيها تغييركل المسافات بنفس القدار- و هذا مُرفق بذهاب طول الارتباط correlation length الى مالانهاية (لغة الميكانيك الاحصائى) او ذهاب الكتلة الى صفر (لغة فيزياء الجسيمات) مما يعنى ان التفاعلات اصبحت ذات مدى طويل و كل السبينات فى الشبكة تتفاعل مع كل السبينات الاخرى مهما كانت بعيدة...فى هذه النقطة فان الذى يصف الجملة هى نظرية حقل كونوفورمال لان التناظر تحت تأثير التجويلات السلمية يؤدى الى التناظر تحت تأثير كل الزمرة الكونفورمال...
وهذا هو التفسير النهائى للتحولات الطورية من الدرجة الثانية فى الطبيعة عن طريق معادلة زمرة اعادة التنظيم..فكل شيء بخصوص هذه التحولات يمكن حسابه و فهمه-مثلا الاسس الحرجة critical exponents- باستعمال هذه المعادلة..و حساب هذه الاسس و التحقق من خاصية الكونية universality التى تميزها هو الذى أخذ من اجله ويلسن نوبل فى الفيزياء..
والكونية يعنى ان الفيرومغناطيسية و كذا الماء و كذا السبائك الثنائية و الناقلية الممتازة و كذا المائعية الممتازة رغم انها جمل فيزيائية مختلفة جدا جدا الا انها تتميز كلها ينفس الاسس الحرجة لانها كلها موصوفة بنموذج ايزينغ و تحولات طورية من الدرجة الثانية..
اما الاسس الحرجة فهى تقيس تصرف المقادير الفيزيائية (المغنظة, السعة الحراية, الحساسية,,,,) حول درجة الحرارة الحرجة كدالة من الشكل (T-Tc)**a حيث a هو الاساس الحرج...
اذن فى النهاية معادلة زمرة اعادة التنظيم هى النظرية النهائية للتجولات الطورية..
اما معادلة زمرة اعادة التنظيم نفسها فاننى لم اقدم هنا الا اقدم و ابسط طرقها على الاطلاق و هى طريقة السبينات الكتلية لكادانوف..اذن كل الذى ذكرناه ليس نهائى بالمرة بل هو هو تحضيرى بامتياز...



No comments:

Post a Comment