الانبعاث و الرجوع الكموميان

التطور الاحادى فى الزمن لدالة الموجة يؤدى الى ظاهرة مهمة جدا تسمى الانبعاث الكمومى و الرجوع الكمومى و هو قدرة الجملة الفيزيائية على الرجوع الى اى حالة تنطلق منها دون اى تأثيرات خارجية بل هى فقط تخضع للتطور الاحادى المعطى بمعادلة شرودينغر. الزمن الذى تستغرقه الجملة حتى ترجع حالتها الى قيمتها الاولى يسمى زمن الانبعاث و هو زمن طويل جدا يحسب كالاتى. 

لنعتبر جملة كمومية ذات مستويات طاقوية منطقية بمعنى انها تعطى بقيم من الشكل

 \[E_i=C\frac{M_i}{N_i}.\] 

حيث $M_i$ و $N_i$ اعداد طبيعية. مثلا من أجل ذرة الهيدروجين فان \[N_i=i^2~,~M_i=1~,~C=-13.6eV.\] 

دالة الموجة (المبتورة truncated الى غاية العدد الطبيعى $N_{\rm max}$ ) المتعلقة بالزمن تعطى ب

 \[\psi(t)=\sum_{i=0}^{N_{\rm max}}a_i\exp(-i\frac{E_i}{\hbar}t)\psi_i.\] 

حيث $\psi_i$ هى الدوال الذاتية المرفقة بالقيم الذاتية $E_i$ لمؤثر الطاقة $H$ اى \[H\psi_i=E_i\psi_i.\] 

نعرف زمن الانبعاث revival time على انه الزمن الضرورى لهذه الدالة حتى ترجع الى قيمتها الاولى من اجل اى لحظة زمنية $t$ اذن نكتب

 \[\psi(t+T)=\psi(t).\] 

هذا يؤدى مباشرة الى الشرط

 \[\frac{E_i}{\hbar}T=2\pi k.\] 

حيث $k$ عدد طبيعى. 

 من الجهة الاخرى ليكن $L_{cm}$ المضاعف المشترك الاكبر للاعداد الطبيعية $N_i$ و $L_{cd}$ القاسم المشترك الاصغر للاعداد الطبيعية $M_i$. اذن

 \[k=\frac{M_i}{L_{cd}}\frac{L_{cm}}{N_i}.\] 

هو عدد طبيعى. نكتب الطاقة على الشكل

 \[E_i=C\frac{L_{cd}}{L_{cm}}k.\] 

بالتعويض فى دالة الموجة نحصل مياشرة على الدور او زمن الانبعاث

 \[T=2\pi \frac{\hbar}{C}\frac{L_{cm}}{L_{cd}}.\] 

من اجل ذرة الهيدروجين مثلا نحصل على زمن انبعاث هائل (وهو دائما كذلك) يساوى $10^{15}$ سنة. هذا هو الزمن الذى يجب ان ننتظره حتى تنبعث دالة الموجة الخاصة بذرة الهيدروجين (دون اى تأثير خارجى) وترجع الى قيمتها الاولى لوحدها. هذا يسمى الرجوع الكمومى quantum recurrence و هو تعميم للرجوع الكلاسيكى المعروف فى الفضاءات الطورية.