درس قصير جدا فى نظرية الزمر و نظرية التمثيلات

الزمرة هى مجموعة من العناصر مع عملية تحقق الخواص التالية:

-الانغلاق

-التجميعية

-وجود الوحدة 1

-وجود المقلوب $g^{-1}$ لكل عنصر $g$.
اذا كانت عملية الزمرة تبديلية فان الزمرة تسمى ابيلية Abelian نسبة الى ابل Abel...

الذى يهمنا اكثر هنا هو ما يسمى زمر لى Lie groups  نسبة الى سوفوس لى Sophus Lie و هى الزمر التى بالاضافة الى الشروط اعلاه تتمتع ببنية متشعب manifold ... 

هذه الزمر تلعب الدور الاكبر بالنسبة للتناظرات المستمرة فى الفيزياء النظرية...

كون الوحدة موجودة فاننا نستطيع ان نحصل على كل عنصر من الزمرة بالتطبيق الاسى exponential map...اى نكتب كل عنصر $g$ من الزمرة على الشكل

\[ g=\exp(T). \]

العنصر $T$ ينتمى الى فضاء شعاعى يسمى جبرية لى Lie algebra ...وهو يسمى المولد generator ...

حتى لا نضيع فى التجريد الذى لا ينفع الاغلبية نأخذ مثال...

مجموعة المصفوفات $g$ التى بعدها $2\times 2$ \[ g = \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|\] و التى تحقق شرط الاحادية أى
\[ g^{\dagger}.g=g.g^{\dagger}=1. \]
بمعنى ان $g^{+}$ هى المقلوب $g^{-1}$....
يمكن ان نبين ان هذه المجموعة تشكل زمرة يرمز لها ب $U(2)$.
لكنه من المعروف جدا ان اى مصفوفة ببعد 2 فى 2 يمكن نشرها على اربعة مصفوفات هى مصفوفة الوحدة زائد مصفوفات باولى اى

\[ \sigma_0 = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right|\], \[\sigma_1 = \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right|\], \[ \sigma_2 = \left| \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right|\], \[\sigma_3 = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right|\].

اذن اى عنصر فى جبرية لى لهذه الزمرة التى يرمز لها ب $u(2)$ -حروف وارقام صغيرة- يمكن ننشرها فى مصفوفة الوحدة و مصفوفات باولى. اذن هذه المصفوفات الاربعة هى بالضبط مولدات الزمرة $SU(2)$. 

مصفوفات باولى هى بالضبط مصفوفات العزم الحركى المقابل للسبين -اى عزم اللف- يساوى نصف. اذن هذه المصفوفات توفر تمثيلة واحدة فقط للزمرة $SU(2)$ تسمى التمثيلة الاساسية fundamental representation و هى اصغر تمثيلة ممكنة. الزمرة $SU(2)$ يمكن تمثليها بمصفوفات من اى بعد $n\times n$ و ليس فقط $ 2\times 2$ حيث سنكتشف فيما بعد ان  $(n-1)/2$ هو قيمة العزم الحركى المقابل لهذه التمثيلة...

نظرية التمثيلات representation theory هى فى الحقيقة اهم شيئ بالنسبة للفيزياء وهو ايضا اصعب شيئ و سنتكلم عن هذا بمزيد من التفصيل فى فرصة اخرى ان شاء الله..