درس فى الهندسة و الطوبولوجيا: المتشعب

المتشعبات 

بالتعريف المتشعب manifold هو فضاء يشبه فى جوار اى نقطة منه الفضاء الاقليدى $R^n$...

تذكر ان $R^1$ هو الخط...$R^2$  هو السطح...$R^3$ هو الحجم ..وهكذا..
حد boundary اى متشعب $M$ بعده $n$ هو متشعب آخر بعده  $n-1$ نرمز له ب $\partial M$ ...
مثلا حد الخط هما نقطتا البداية و النهاية وحد القرص هو الدائرة المحيطة به..

نأخذ مباشرة بعض الامثلة..

-الكرة sphere فى بعد $n$ و نرمز لها ب $S^n$ ...من اجل $n=1$ نحصل على الدائرة ومن اجل $n=2$ نحصل على الكرة التى نعرفها...

-الفضاءات الاسقاطية المركبة complex projective spaces و نرمز لها ب $CP^n$ و الفضاءات الاسقاطية الحقيقية real projective spaces و نرمز لها ب  $RP^n$..

الفضاء الاسقاطى الحقيقى $RP^n$ هو الكرة حيث كل نقطتان متعاكستان قطبيا antipodal نعتبرهما نفس النقطة...

أما الفضاء الاسقاطى المركب $CP^n$ فهو أكثر اهمية و نترك تعريفه الى فرصة اخرى..

ومن الامثلة ايضا على المتشعبات...

-متشعبات الزمر group manifolds ... كمثال نأخذ الزمرة $SU(2)$..عناصر الزمرة $SU(2)$ هى جميع المصفوفات $2\times 2$ التى تحقق شرط الاحادية $gg^+=g^+g=1$ و لها محدد يساوى واحد $det g=1$... يمكن ان نبين بدون صعوبة كبيرة ان الزمرة $SU(2)$ هى بالضبط الكرة $S^3$....

جمل الاحداثيات 

 دائما ما نستعمل على المتشعبات جمل احداثيات coordinate systems...
نفترض اولا انه لدينا غطاء  covering للمتشعب يعطى بالمجموعة $\{U_i\}$  ...
المجموعة $U_i$ تسمى جوار neighborhood وهى جزء من $R^n$ او $C^n$ تغطى المتشعب حول نقطة ما...ليكن $\phi_i$ تطبيق من $U_i$ الى $R^n$..هذا التطبيق هو جملة الاحداثيات فى الجوار $U_i$ ...
ليكن $U_j$ جوار آخر مع تطبيق مرفق آخر $\phi_j$...نفترض ان الجوارين $U_i$ و $U_j$  متقاطعان ...انظر الصورة...
التحويل من الاحداثيات $\phi_i$ الى الاحداثيات $\phi_j$ فى التقاطع $U_i\cap U_j$ يعطى بدالة الانتقال

$$\phi_{ji}=\phi_j.\phi_i^{-1}.$$

هذه الدالة يجب ان تنتمى الى $C^{\infty}$ بمعنى انها قابلة للاشتقاق عدد غير منته من المرات اى ان كل مشتقاتها من كل الرتب هى دوال مستمرة...

اذا كانت $\phi_{ji}$ دالة حقيقية فان المتشعب حقيقى تحليلى real analytic manifold...أما اذا كانت $\phi_{ji}$ مركبة  هولومورفية holomorphic فان المتشعب يسمى متشعب مركب complex manifold...
 نأخذ كمثال الكرة $S^2$...ليكن $U_1$ الجوار الذى يغطى النصف الشمالى للكرة و ليكن $U_2$ الجوار الذى يغطى النصف الجنوبى للكرة...نعرف $z=x+iy$ ...فى هذه الحالة دالة الانتقال على التقاطع $U_1\cap U_2$ تعطى ب

$$\phi_{12}(z)=\frac{1}{z}.$$

من الواضح اذن ان الكرة متشعب مركب...