درس فى الهندسة و الطوبولوجيا 2: الفضاءات الشعاعية المماسة و المماسة المرفقة

المتشعب manifold هو اذن فضاء منحنى ببعد كيفى يشبه موضعيا الفضاء الاقليدى...

اهتمامنا بهذه الجسم الرياضى راجع لكون الاغلبية الساحقة من الفضاءات التى تظهر فى الفيزياء النظرية-واولها الفضاء-زمن نفسه- هى من الناحية الرياضية متشعبات..

اذن ليس لدينا خيار...

لكن يبقى التعامل مع المتشعب صعب جدا...

أحد اهم الطرق فى التعامل هى جمل الاحداثيات والتى شرحناها الى حد ما فى الدرس الماضى..

لكن افضل من هذا هى فكرة الفضاءات الشعاعية...

المتشعب ليس بفضاء شعاعى..

لكن المماس له فى كل نقطة منه هو فضاء شعاعى بعده هو بالضبط بعد المتشعب...هذا الفضاء الشعاعى يسمى الفضاء الشعاعى المماس..

اذا كان المتشعب يرمز له ب $M$ فان الفضاء الشعاعى المماس tangent vector space فى النقطة $p$ يرمز له ب  $T_p(M)$...

فكروا مثلا فى منحنى- هذا هو المتشعب- وفكروا فى المماس لهذا المنحنى فى اى نقطة منه-هذا هو الفضاء الشعاعى المماس-...

انظر الصورة...

لان المماس يأتى من الاشتقاق فان أساس الفضاء الشعاعى المماس يعطى بالمشتقات الاتجاهية directional derivatives

\[E_i=\frac{\partial}{\partial x_i}.\]

هناك فضاء شعاعى مماس آخر للمتشعب يسمى الفضاء الشعاعى المماس المرفق cotangent vector space و يرمز له ب $T_p^*(M)$...هذا الفضاء هو الفضاء الشعاعى الثنوى dual للفضاء الشعاعى المماس $T_p(M)$...و الثنوى dual يمكن فهمه بشكل تقريبى على أنه العكس..التعريف الرياضى يعطى بالجداء السلمى scalar product بين اساس $T_p(M)$ الذى رمزنا له اعلاه بالاشعة $E_i$ واساس $T_p^*(M)$ الذى سنرمز له بالاشعة $e^i$ الذى يعطى بالعبارة

\[(E_i,e^j)=\delta_{i}^j.\]

الرمز $\delta_{i}^{j}$ يعطى رمز كرونكر Kronecker اى واحد لما يتساوى الدليلان $i=j$ وصفر اذا لم يتساوى الدليلان...

عموما عندما نختار الاساس $E_i$ بالاشتقاقات الاتجاهية  $\partial/\partial x_i$  كما فعلنا اعلاه فاننا نختار الاساس $e^i$ بالتفاضلات التامة $dx_i$

\[e^i=dx^i.\]

اذن عناصر $T_p(M)$ هى الاشعة 

\[V=v^i\frac{\partial}{\partial x_i}.\]

أما عناصر $T_p^*(M)$ فهى الاشعة المرفقة 

\[U=u_i dx^i.\]

الدليل الشعاعى يسمى متغاير عكسى contravariant اما الدليل الشعاعى المرفق فيسمى متغاير covariant..تذكروا هذه المصطلحات من النسبية...

نأخذ مثال..الميكانيك التحليلى..المتشعب هو فضاء التمثيلات $\{q^i\}$..فضاء السرعات $\{\dot{q}^i\}$ هو الفضاء الشعاعى المماس بأساس $\partial/\partial q^i$..اما فضاء كميات الحركة $\{p_i\}$ فهو الفضاء الشعاعى المماس المرفق باساس $dq^i$...

يمكننا ايضا ان نعرف التنسورات tensors على انها التعميم المباشر للاشعة و الاشعة المرفقة..فتنسور ب $l$ دليل متغاير و $k$ دليل متغاير عكسى يعطى بالجداء التنسورى tensor product

\[W_{(l)}^{(k)}=w_{j_1...j_l}^{i_1...i_k}\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\otimes...\otimes\frac{\partial}{\partial x^{i_k}}\otimes dx^{j_1}....\otimes dx^{j_l}.\]