11
محاضرة جديدة انهيت للتو من كتابتها و سيتم القاء آخرها على طلبة الماستر الثانى نظرى لجامعة عنابة بعد غد الخميس..
اتعبتنى جدا جدا و اتعبت الطلبة ايضا..
اقول هى الاولى من نوعها فى العالم العربى..
ملف ال PDF فى الرابط ادناه على البوابة البحثية ResearchGate
97
صفحة, 11 بيان, و 37 مرجع...
الرابط:
المحتوى:
المحاضرة الأولى:فضاء ريندلر
Rindler و النسبية العامة
المحاضرة الثانية: الثقب الاسود لشوارشيلد
Schwarzschild
المحاضرة الثالثة: مخطط كروسكال-زيكرس
Krsukal-Szekres
المحاضرة الرابعة: مصفوفة الكثافة و التشابك
المحاضرة الخامسة: تفكيك ريندلر
Rindler
و تأثير أنراه
Unruh
المحاضرة السادسة: نظرية الحقول الكمومية على الفضاءات المنحنية
المحاضرة السابعة: اشعاع هاوكينغ
Hawking
المحاضرة الثامنة: اشعاع هاوكينغ
Hawking
من نظرية الحقول الكمومية على خلفية شوارشيلد
Schwarzschild
المحاضرة التاسعة: فراغات انراه
Unruh
و بولوار
Boulware:
من النقى الى المختلط
المحاضرة العاشرة: مسألة ضياع المعلومات فى اشعاع هاوكينغ
Hawking للثقب الاسود
المحاضرة الحادية عشر: ترموديناميك الثقب الاسود
الرابط:
الملخص
اشعاع هاوكينغ
قبل ان نحسب اشعاع هاوكيغ من المستحسن ان نفهم الاصل الفيزيائى لهذا الاشعاع.
حركة جسيم سلمى طاقته
$\nu$
و عزمه الحركى
$l$
فى الخلفية الثقالية للثقب الاسود لشوارشيلد
Schwarzschild
هى مكافئة بالكامل لحركة جسيم كمومى-اى يخضع لمعادلة شرودينغر- طاقته
$E=\nu^²$
فى كمون تصادم
scattering potential
يعطى فى احداثية السلحفاة
tortoise coordinate
$r_*$
بالعبارة
\begin{eqnarray}
V(r_*)=\frac{r-r_s}{r}\big(\frac{r_s}{r^3}+\frac{l(l+1)}{r^2}\big)~,~r_*=r+r_s\ln(\frac{r}{r_s}-1).
\end{eqnarray}
هذا الكمون ينعدم فى اللانهاية و عند افق الحدث
$r_s$.
اذن الجسيم حر فى اللانهاية و عند افق الحدث. انظر الصورة ادناه.
لكن هذا الكمون يتميز بحاجز عند $r\sim 3r_s/2$ حيث يبلغ الكمون قيمته العظمى وارتفاع هذا الحاجز متناسب مع مربع العزم الحركى اى \begin{eqnarray} V_{\rm max}(r_*)\sim \frac{l^2+1}{G^2M^2}\sim (l^2+1)T_H, \end{eqnarray} حيث $T_H$ هى درجة حرارة هاوكينغ التى سنحسبها ادناه.
من الجهة الاخرى هذه الجسيمات هى فى حالة توازن حرارى عند درجة حرارة هاوكينغ اذن طاقتها $\nu$ هى ايضا متناسبة مع درجة حرارة هاوكينغ $T_H$ .
نرى من هذا البرهان البسيط جدا ان الجسيمات التى ليس لها عزم حركى اى $l=0$ هى فقط التى يمكن ان تمر عبر الحاجز الكمونى لتذهب الى مالانهاية اى بعيدا عن الثقب الاسود. وهذه هى الجسيمات التى تشكل اشعاع هاوكينغ.
الفرق بالمقارنة مع فضاء ريندلر هو انه فى حالة هذا الاخير الحاجز الكمومى لا نهائى و بالتالى لا يمكن لاى جسيم ان يخترق كمون التصادم للذهاب الى مالانهاية على شكل اشعاع. هذا فى رأيى من اقوى الصور الفيزيائية بخصوص اشعاع الثقب الاسود.
لكن هذا الكمون يتميز بحاجز عند $r\sim 3r_s/2$ حيث يبلغ الكمون قيمته العظمى وارتفاع هذا الحاجز متناسب مع مربع العزم الحركى اى \begin{eqnarray} V_{\rm max}(r_*)\sim \frac{l^2+1}{G^2M^2}\sim (l^2+1)T_H, \end{eqnarray} حيث $T_H$ هى درجة حرارة هاوكينغ التى سنحسبها ادناه.
من الجهة الاخرى هذه الجسيمات هى فى حالة توازن حرارى عند درجة حرارة هاوكينغ اذن طاقتها $\nu$ هى ايضا متناسبة مع درجة حرارة هاوكينغ $T_H$ .
نرى من هذا البرهان البسيط جدا ان الجسيمات التى ليس لها عزم حركى اى $l=0$ هى فقط التى يمكن ان تمر عبر الحاجز الكمونى لتذهب الى مالانهاية اى بعيدا عن الثقب الاسود. وهذه هى الجسيمات التى تشكل اشعاع هاوكينغ.
الفرق بالمقارنة مع فضاء ريندلر هو انه فى حالة هذا الاخير الحاجز الكمومى لا نهائى و بالتالى لا يمكن لاى جسيم ان يخترق كمون التصادم للذهاب الى مالانهاية على شكل اشعاع. هذا فى رأيى من اقوى الصور الفيزيائية بخصوص اشعاع الثقب الاسود.
حساب اشعاع هاوكينغ ودرجة حرارته
نحسب اشعاع الثقب الاسود المعروف باسم اشعاع هاوكينغ بثلاثة طرق مختلفة:
- عبر فضاء ريندلر Rindler و تأثير انراه Enruh لان الثقب الاسود بالقرب من افق الحدث event horizon يظهر على شكل فضاء ريندلر, اى على شكل فضاء مسرع بانتظام بتسارع $a$ مرتبط بافق الحدث $r_s$ بالعلاقة \begin{eqnarray} a=\frac{1}{2r_s}. \end{eqnarray} تذكر ان الحالة الفراغية لمينكوفسكى Minkowski vacuum تظهر بالنسبة لملاحظ ريندلر كحالة حرارية مختلطة mixed state بدرجة حرارى تساوى $T=a/2\pi$ وهذا هو تأثير انراه و هو بكل بساطة الاساس لتأثير هاوكينغ,
- عن طرق حساب خواص الحالة الفراغية الكمومية لكروسكل $|0_K\rangle$ بالنسبة لملاحظ شوارشيلد فى نموذج الثقب الاسود الخالد eternal black hole. حالة كروسكل Kruskal vacuum بالنسبة للثقب الاسود تلعب بالضبط دور حالة مينكوسفكى Minkowski vacuum بالنسبة لريندلر كما ان حالة شوارشيلد Schwarzschild vacuum هى ما يقابل حالة ريندلر Rinlder vacuum . مرة اخرى نجد ان ملاحظ شوراشيلد يرى فراغ كروسكل مملوء بالجسيمات يحتوى بالضبط على \begin{eqnarray} \langle 0_k |N_{\omega}|0_K\rangle=\frac{\delta(0)}{\exp(2\pi\omega/a)-1}. \end{eqnarray}
-
ثم حسبنا اشعاع هاوكيغ بطريقة ثالثة مختلفة باعتبار الحالة الاكثر
الواقعية التى يتشكل فيها الثقب الاسود فى انهيار ثقالى
gravitational collapse لقشرة كروية رقيقة من المادة كما فى مخطط بنروز Penrose اعلاه-القشرة هى الخط الاحمر- و حساب الحالة
الاساسية الداخلة incoming vacuum state بالضبط التى تعرف بالضبط باسم حالة انراه
Enruh state
.
حالة انراه هى حالة نقية pure متشابكة الى الحد الاقصى maximally entangled تصف زوج من الجسيمات ذات طاقة كيلينغ Killing energy كلية تساوى الصفر. احد الزوجين $|n_R\rangle$ يذهب خارج الافق نراه كاشعاع هاوكينغ و الزوج الاخر $|n_L\rangle$ يذهب وراء الافق ويضيع فى المفردة singularity فى المركز و هو ما يقابل المعلومات الضائعة فى الثقب. هذه الحالة الكمومية تعطى بالضبط بالعلاقة \begin{eqnarray} |U\rangle\sim \sum_n \exp(-\frac{n\pi\omega}{a})|n_R>|n_L>. \end{eqnarray}
حالة الثقب الاسود هى دائما حالة نقية لكن بالنسبة لملاحظ شوراشيلد -اى نحن- فانها تظهر له كحالة حرارية مختلطة مقابلة لمصفوفة الكثافة
density matrix
\begin{eqnarray}
\rho_R={\rm Tr}_L|U\rangle\langle U|\sim \sum_n\exp(-\frac{2n\pi\omega}{a})|n_R\rangle\langle n_R|.
\end{eqnarray}
اذن تظهر له كمجموعة حرارية قانونية
canonical ensemble
بدرجة حرارة تساوى
\begin{eqnarray}
T=\frac{1}{8\pi GM},
\end{eqnarray}
لان
التسارع
$a=1/2r_s$
و افق الحدث
$r_s=2GM$
حيث
$M$
هى كتلة الثقب و
$G$ هو ثابت نيوتن.
اذن الحالة النقية المتشابكة بالقرب من افق الحدث ينجم عنها حالة حرارية مختلطة خارج الثقب وهذا هو لب معضلة ضياع المعلومات فى الثقب .
ناقشنا ايضا فى هذه المحاضرات بشكل مستفيض معضلة ضياع المعلومات فى الثقب. الثقب الاسود يبدأ فى حالة نقية و عندما يتبخر بالكامل فان اشعاع هاوكينغ يجب ان يكون ايضا فى حالة نقية وهذه هى فرضية الاحادية unitarity. اذن انتروبى التشابك entanglement entropy يبدأ من الصفر ثم يتصاعد و يبلغ قمته عند ما يسمى زمن بايج Page ثم يعود الى النتاقص حتى يصل الى الصفر مرة اخرى عند لحظة التبخر. زمن بايج هو الزمن الذى تتبخر فيه نصف كتلة الثقب الاسود و تبدأ فيه المعلومات بالخروج من الثقب. كمية المعلومات تعطى بالفرق بين الانتروبى الحرارى لبولتزمان Boltzmann و انتروبى المعلومات لفون نيومان Von Neumann . قبل زمن بايج فقط الطاقة تخرج مع الاشعاع وقليل جدا من المعلومات يخرج, بعد زمن بايج تبدأ المعلومات فى الخروج وتخرج بالكامل عند لحظة التبخر, وهذا مضمون الحدوث بسبب المبدا الثانى للترموديناميك و بافتراض الاحادية الكمومية. منحنى انتروبى التشابك كدالة فى الزمن يسمى منحنى بايج Page curve و حسابه من المبادئ الميكروسكوبية يعتبر الصياغة الرياضية لمعضلة ضياع المعلومات فى الثقب. هذا المنحى يمكن حساب شكله العام باستعمال مبرهنة بايج Page theorem و هو بالفعل يأخذ الشكل المذكور اعلاه: يبدا من الصفر ثم يتزايد حتى يبلغ قيمته الاعظمية عند زمن بايج ثم يبدأ فى التناقض حتى يرجع الى الصفر مرة اخرى عند لحظة التبخر.
فرضية الاحادية هى موقف واحد فقط بخصوص معضلة ضياع المعلومات. هناك فى الحقيقة, بالاضافة الى هذه الفرضية, خمسة فرضيات اخرى بازاء السؤال: هل هناك ضياع للمعلومات ام لا فى الثقب? هذه المواقف هى:
الموضوع الثالث لهذه المحاضرات هو ترموديناميك الثقب الاسود. الثقب الاسود له انتروبى منته محدود يعطى بعلاقة هاوكينغ- بيكنشتاين Hawking-Bekenstein \begin{eqnarray} S=\frac{A}{4G}, \end{eqnarray} حيث $A$ هى مساحة الثقب الاسود. هذا الانتروبى الحرارى هو الكمية القصوى للمعلومات المخزنة فى الثقب وهو يعطى عدد الحالات الميكروسكوبية الكمومية المسموح بها للثقب الاسود بالعلاقة \begin{eqnarray} n=\exp(S). \end{eqnarray} اغلب هذا الانتروبى متمركز حول افق الحدث, لكن نظرية الحقول تعطى قيمة لا نهائية متباعدة له عوض قيمة هاوكينغ-بيكنشتاين اعلاه. اذن نظرية الحقول الكمومية يجب ان تعوض بنظرية الثقالة الكمومية بالقرب من افق الحدث و هذا الفصل بين درجات حرية الحقل الكمومى و درجات حرية الثقالة الكمومية يمكن تنفيذه بما يسمى الافق الممتد stretched horizon . الافق الممتد هو غشاء فيزيائى يبعد عن الافق الرياضى بمسافة تساوى طول بلانك $l_P=\sqrt{G\hbar}$ و يحمل كل طاقة و انتروبى الثقب الاسود واين تبلغ درجة الحرارة الذاتية proper temperature قيم كبيرة جدا.
اذن الحالة النقية المتشابكة بالقرب من افق الحدث ينجم عنها حالة حرارية مختلطة خارج الثقب وهذا هو لب معضلة ضياع المعلومات فى الثقب .
معضلة المعلومات
ناقشنا ايضا فى هذه المحاضرات بشكل مستفيض معضلة ضياع المعلومات فى الثقب. الثقب الاسود يبدأ فى حالة نقية و عندما يتبخر بالكامل فان اشعاع هاوكينغ يجب ان يكون ايضا فى حالة نقية وهذه هى فرضية الاحادية unitarity. اذن انتروبى التشابك entanglement entropy يبدأ من الصفر ثم يتصاعد و يبلغ قمته عند ما يسمى زمن بايج Page ثم يعود الى النتاقص حتى يصل الى الصفر مرة اخرى عند لحظة التبخر. زمن بايج هو الزمن الذى تتبخر فيه نصف كتلة الثقب الاسود و تبدأ فيه المعلومات بالخروج من الثقب. كمية المعلومات تعطى بالفرق بين الانتروبى الحرارى لبولتزمان Boltzmann و انتروبى المعلومات لفون نيومان Von Neumann . قبل زمن بايج فقط الطاقة تخرج مع الاشعاع وقليل جدا من المعلومات يخرج, بعد زمن بايج تبدأ المعلومات فى الخروج وتخرج بالكامل عند لحظة التبخر, وهذا مضمون الحدوث بسبب المبدا الثانى للترموديناميك و بافتراض الاحادية الكمومية. منحنى انتروبى التشابك كدالة فى الزمن يسمى منحنى بايج Page curve و حسابه من المبادئ الميكروسكوبية يعتبر الصياغة الرياضية لمعضلة ضياع المعلومات فى الثقب. هذا المنحى يمكن حساب شكله العام باستعمال مبرهنة بايج Page theorem و هو بالفعل يأخذ الشكل المذكور اعلاه: يبدا من الصفر ثم يتزايد حتى يبلغ قيمته الاعظمية عند زمن بايج ثم يبدأ فى التناقض حتى يرجع الى الصفر مرة اخرى عند لحظة التبخر.
فرضية الاحادية هى موقف واحد فقط بخصوص معضلة ضياع المعلومات. هناك فى الحقيقة, بالاضافة الى هذه الفرضية, خمسة فرضيات اخرى بازاء السؤال: هل هناك ضياع للمعلومات ام لا فى الثقب? هذه المواقف هى:
- هناك ضياع حقيقى للمعلومات فى الثقب خلال تشكل او تبخر الثقب. وهذا هو رأى هاوكينغ الاصلى.
- فرضية الاحادية التى ذكرناها اعلاه وهى رأى الاغلبية. لكن يبقى السؤال كيف يتم الامر بالضبط?
- فرضية البقايا remnants التى يقول اصحابها ان تبخر الثقب الاسود سيتوقف عندما تبلغ كتلة الثقب كتلة بلانك. لا احد مازال يقول بهذا الرأى.
- ستخرج كل المعلومات التى ضاعت وراء افق الحدث عندما يصل الثقب الاسود الى نهاية تبخره. هذه الفرضية تناقض مبدأ انحفاظ المعلومات principle of information conservation.
- فرضية الحائط الطوبى brick wall التى تقول ان افق الحدث غير قابل للاختراق و بالتالى فان المعلومات لا تضيع. لكن هذه الفرضية تناقض مبدأ التكافؤ equivalence principle للنسبية العامة.
- فرضية النسخ duplication التى تقول ان افق الحدث ينسخ نسخة من المعلومات يرسلها خارج الافق -كما ينص مبدأ انحفاظ المعلومات- و ينسخ نسخة ثانية يرسلها داخل الافق-كما ينص مبدا التكافؤ-. لكن هذه الفرضية تناقض خطية الميكانيك الكمومى التى تعرف ايضا تحت مسمى مبدأ النسخ الكمومى quantum xerox principle.
الترموديناميك
الموضوع الثالث لهذه المحاضرات هو ترموديناميك الثقب الاسود. الثقب الاسود له انتروبى منته محدود يعطى بعلاقة هاوكينغ- بيكنشتاين Hawking-Bekenstein \begin{eqnarray} S=\frac{A}{4G}, \end{eqnarray} حيث $A$ هى مساحة الثقب الاسود. هذا الانتروبى الحرارى هو الكمية القصوى للمعلومات المخزنة فى الثقب وهو يعطى عدد الحالات الميكروسكوبية الكمومية المسموح بها للثقب الاسود بالعلاقة \begin{eqnarray} n=\exp(S). \end{eqnarray} اغلب هذا الانتروبى متمركز حول افق الحدث, لكن نظرية الحقول تعطى قيمة لا نهائية متباعدة له عوض قيمة هاوكينغ-بيكنشتاين اعلاه. اذن نظرية الحقول الكمومية يجب ان تعوض بنظرية الثقالة الكمومية بالقرب من افق الحدث و هذا الفصل بين درجات حرية الحقل الكمومى و درجات حرية الثقالة الكمومية يمكن تنفيذه بما يسمى الافق الممتد stretched horizon . الافق الممتد هو غشاء فيزيائى يبعد عن الافق الرياضى بمسافة تساوى طول بلانك $l_P=\sqrt{G\hbar}$ و يحمل كل طاقة و انتروبى الثقب الاسود واين تبلغ درجة الحرارة الذاتية proper temperature قيم كبيرة جدا.
الرابط:
شكرا جزيلا
ReplyDelete