المنطق الكمومى 1

نعتبر جملة فيزيائية ما...
فى الميكانيك الكلاسيكى حالة هذه الجملة توصف بنقطة فى فضاء سمبليكتى symplectic يسمى الفضاء الطورى...
فى الميكانيك الكمومى حالة الجملة توصف بشعاع فى فضاء شعاعى مركب يسمى فضاء هيلبرت...
لتكن p خاصية فيزيائية معينة للجملة...
فى الميكانيك الكلاسيكى القضية p تقابل مجموعة من النقاط P فى الفضاء الطورى..
أما فى الميكانيك الكمومى فان القضية p تقابل فضاء جزئى P من فضاء هيلبرت...
من الناحية المنطقية هذه الخاصة p هى قضية معينة حول الجملة مثلا: العزم الحركى للجملة يساوى نصف...
نفى p و نرمز له not p هو ايضا خاصية معينة للجملة و هى تقابل المجموعة المتممة complement set للمجموعة P و نرمز لها ب P^c ...
أما فى الميكانيك الكمومى فان النفى المنطقى يقابل التعامد...
فنفى p اى not p يقابل المتمم العمودى orthogonal complement الذى نرمز له P^p للفضاء الجزئى P اى كل شعاع فى P^p هو عمودى لكل شعاع فى P...
فى الميكانيك الكمومى نعبر عن الخاصية p رياضيا بمؤثر يسمى المسقط projector على الفضاء الجزئى المقابل للخاصية ونرمز له ب O ...
الخاصة not p تقابل المسقط العمودى الذى يساوى 1 ناقص O ...

الصدمة:
فى الميكانيك الكلاسيكى اى نقطة من الفضاء الطورى هى اما p او not p ..لا يوجد شيئ آخر...
وهذا هو قانون المنطق الثالث: قانون الثالث المرفوع law of excluded middle ...
لكن فى الميكانيك الكمومى..فضاء هيلبرت يحتوى على نقاط لها الخاصية p وهناك نقاط لها الخاصية not p ..لكن هناك نقاط اخرى عددها اكبر بكثير ليست لها لا الخاصية p و لا الخاصية not p...
ساقنعكم بمثال بسيط جدا:
نأخذ جملة عبارة عن ذرة ذات سبين يساوى نصف...
فضاء هيلبرت هو مستوى مركب فى هذه الحالة..
نأخذ الخاصية p حالة الذرة ذات السبين فى الاتجاه z يساوى نصف.. هذه الحالة يعبر عنها بخط فى فضاء هيلبرت يمر عبر المبدأ ..
الحالة not p هى حالة الذرة ذات السبين فى الاتجاه يساوى ناقص نصف..هذه الحالة يعبر عنها بخط عمودى للخط السابق فى فضاء هيلبرت..
لكن هناك عدد نهائى آخر من الخطوط التى تمر عبر المبدأ..
مثلا حالة الذرة ذات السبين فى الاتجاه x يساوى نصف..يعبر عنها بخط مختلف يمر عبر المبدأ
وحالة الجملة ذات السبين فى الاتجاه x يساوى ناقص نصف, يعبر عنها بخط مختلف يمر عبر المبدأ..
الخ..
هذه كلها حالات يعبر عنها بخطوط فى فضاء هيلبرت مختلفة عن الخطين السابقين...
نعبر عن هذا الامر رياضيا كالاتى..
اذا كان السبين S_z فى الاتجاه z مرفق بالمسقط O_z و كان السبين S_x فى الاتجاه x مرفق بالمسقط O_x فانه مباشرة نلاحظ ان ضرب O_z فى O_x لا يساوى ضرب O_x فى O_z اى
O_xO_z# O_zO_x
المسقطان O_x و O_z لا يتبادلان وبالتالى فان السبينيات S_x و S_z تسمى مؤثرات غير متلائمة incompatible operators ...