مرة أخرى احدى معجزات الرياضيات الكثيرة..

نرجع الى معشوقة كل النظريين الحقيقيين: الرياضيات..
أقدم مبرهنة من اعمق ما يكون و ايضا افيد ما يكون وكذلك قمة فى الاناقة و اللباقة..
نأخذ دالة f على مجال مغلق ونعتبر عدد حقيقي كيفى صغير e ..
مبرهنة وايستراس Weierstrass تنص على أنه مهما كانت الدالة f و مهما كان العدد الحقيقيى e فانه يمكننا تقريب الدالة f بكثير حدود من الدرجة n نرمز له مثلا ب P_n بحيث ان المسافة بين الدالة f و كثير الحدود P_n اصغر من e الذى يمكن ان نختاره صغير كما نريد...
اذن الدالة يمكن تقريبها باى دقة نريد بكثير حدود..وتذكروا انه ليس هناك ابدا دوال اسهل من كثيرات الحدود فى التعامل تحليليا و عدديا..
ربما يتسائل بعضكم: نحن نعرف كيف نقيس المسافة بين النقاط لكن كيف نقيس المسافة بين الدوال?..
المسافة بين دالتين التى تستخدمها المبرهنة اعلاه هى ما يسمى معيار norm شيبيشاف Chebyshev الذى يساوى القيمة المطلقة الاعظمية للفرق بين الدالتين...نقول ان فضاء كثيرات الحدود هو كثيف dense فى فضاء الدوال المستمرة بالنسبة لمعيار شيبيشاف...
عندما نقرب الدالة f بكثير حدود P_n من الدرجة n فاننا نرتكب خطأ هو بالضبط القيمة المطلقة للفرق بين f و P_n ..

نصل الآن الى واحد من اعظم مبرهنات الرياضيات : مبرهنة شبيشاف..
من اجل كل درجة n يوجد كثير حدود وحيد P_n يقرب الدالة f بحيث يكون الخطأ اصغرى اذا وفقط اذا اخذ الخطأ قيمته المطلقة الاعظمية فى n+2 نقطة و بحيث تهتز اشارة الخطأ بين هذه القيم الحدية..
الرياضيون وكذلك الفيزيائيون النظريون يحبون الوجود وكذلك الوحدانية!!...
اذن عرفنا ان تقريب الدالة بكثير حدود موجود و اكثر من هذا عرفنا ان هذا التقريب هو وحيد بخطأ اصغرى والشرط الضرورى و الكافى هو ان يأخذ الخطأ المرتكب قيمه العظمى و الصغرى فى عدد محدد من النقاط و بحيث اشارته تهتز بين هذه النقاط..
هذه المبرهنة هى الاساس لكل خوارزميات التقريب المينيماكس minimax approximation algorithms و اقوى هذه الخوارزميات هى خوارزمية ريماز Remez algorithm ...
هذه الخوارزميات تسمح لنا بتفادى حساب دوال معقدة جدا-قد يكون حسابها مكلف عدديا- و تعويض ذلك بحساب التقريب بكثير حدود خاصة ان هذا التقريب موجود ووحيد و يحقق خواص خارقة للعادة منها ان الخطأ اصغرى و يهتز فى مجال محدد بين قيمه الحدية..
وهذه احدى كرامات او بالاحرى معجزات الرياضيات..