العشوائية هى ظاهرة طبيعية محضة لكن رياضية عقلية بحتة ..

العشوائية هى ظاهرة طبيعية محضة..
هذا صحيح..
لكن هذا ليس صحيح تماما..
فهناك ايضا عشوائية رياضية عقلية بحتة..
مثال: مبرهنة بورال Borel theorem ..
نأخذ مجموعة الاعداد الحقيقية..
الاعداد الحقيقية هى اعداد اعتيادية normal number..
وخاصية الاعتيادية هى شكل رياضى بحت للعشوائية...
نكتب هذه الاعداد الحقيقية فى النظام الثنائى الذى هو النظام العددى الذى اساسه 2...
فى هذا النظام نعبر على اى عدد بسلسلة مشكلة من 0 و 1 فقط...
فى الصورة تمثيل الاعداد الطبيعية من 0 الى 15 فى النظام الثنائى...
نـأتى الآن الى مبرهنة بورال..
اى عدد حقيقى يقبل نشر-لا نهائى فى اغلب الاحيان- فى النظام الثنائى..
هذا النشر هو سلسلة لا نهائية مشكلة من الارقام صفر و واحد..
لان الاعداد الحقيقية هى اعداد اعتيادية فإن هذه السلسلة يقول بورال هى عشوائية بالمعنى الآتى:
الرقم 0 يظهر فى السلسلة نصف عدد المرات فى النهاية...
الرقم 1 ايضا يظهر فى السلسلة نصف عدد المرات فى النهاية..
اذن الصفر و الواحد متوازنان تماما فى سلسة او نشر اى عدد حقيقى فى النظام الثنائى فى النهاية..
الكتل 00, 01,10 و 11 تظهر كل منها فى السلسلة ربع عدد المرات فى النهاية..
الكتل المشكلة من ثلاثة ارقام مثل 000 و 111 و 010 و غيرها تظهر فى النهاية سدس عدد المرات لانه لدينا ستة كتل مشكلة من ثلاثة ارقام..
وهكذا..
اذن هذه العشوائية الرياضية العقلية تضاهى العشوائية المادية الطبيعية..
هذه الخاصية للاعداد الحقيقية هى صالحة فى الحقيقة فى اى نظام و ليس فقط فى النظام الثنائى الذى استعملته هنا لسبب واحد هو جعل عرض الفكرة ابسط..
رغم ان بورال برهن على ان كل الاعداد الطبيعية هى اعداد اعتيايدية و بالتالى تتميز بالخاصية اعلاه الا انه لم يأت بأمثلة محددة لاعداد اعتيادية..
فمثلا لا نعرف لحد الان اذا كان pi او جذر 2 او e هى اعداد اعتيادية رغم انها يُعتقد فعلا انها كذلك..فهذه المسألة-اى البرهان على ان هذه الاعداد الحقيقية بعينها هى فعلا اعتيادية- تبقى فى حدود الحدسية و لا احد يعرف يقينا..
وكما قال كاك Kac احد اكبر الرياضييين فى القرن العشرين بتصرف قليل:
كما هو دائما الحال فى الرياضيات, من السهل جدا ان نبرهن على ان الاغلبية الساحقة من اشياء معينة تمتلك خاصية معينة, على ان نأتى بأمثلة معينة تحقق تلك الخاصية..من الصعب جدا الاتيان باعداد اعتيادية...