هاوكينج ضد بور: انتصار بور من وراء القبر

هاوكينج ضد بور: انتصار بور من وراء القبر
و الميكانيك الكمومى ينتصر مرة أخرى...
الخصم هذه المرة: الثقوب السوداء...
هاوكينج يُقر بالهزيمة و يشترى لبراسكل الرهان المتفق عليه..
الخلاصة: لا يمكن تدمير او افناء المعلومات فى هذا الكون ابدا....
التفصيل:
الميكانيك الكمومى ينص على أنه لا يمكن تدمير او افناء المعلومات...
واخطر مهدد لهذا الامر هو الثقب الاسود الذى يبتلع كل شيئ يمر عبر افق الحدث دون امكانية الرجوع...
هاوكينج نفسه, الذى اكتشف عام 1974 ان الثقب الاسود ينبعث منه اشعاع حرارى مثله مثل اى جسم آخر محفوظ عند درجة حرارة ثابتة, متناسبة عكسا مع كتلته, كان يعتقد فعلا ان المعلومات تفنى و تختفى داخل الثقب الاسود ...
وان الاشعاع سيستمر حتى يتبخر الثقب الاسود بالكامل و تضيع المعلومات الى الابد...
لكن بقية المجتمع الفيزيائى كانت وفية لبور و كانت تعتقد ان هذا غير ممكن وان المعلومات لا يمكن ان تضيع داخل الثقب الاسود...
ووصل الامر بالفيزيائى جون برسكل John Preskill أن تحدى هاوكينج على الملأ بأن المعلومات لا يمكن الا ان تكون محفوظة حتى داخل الثقب الاسود, وراهنه على ان الخاسر يجب ان يشترى للفائز, موسوعة من اختياره..
لكن ماهو بالضبط البرهان الذى قدمه هاوكينج?
البرهان يستخدم نظرية الحقول التى تنص على أن الفراغ ليس عدم لكن يحتوى على عدد لا نهائى من الازواج الافتراضية الكترون-بوزيترون, حيث البوزيترون هو الجسيم المضاد للالكترون, التى تتخلق وتتلاشى بصورة مستمرة خارج الثقب الاسود...فى بعض الاحيان التخلق يقع بالضبط على افق الحدث خاصة الثقب الاسود, وقبل ان يتلاشى الزوج الى فوتون-جسيم الضوء- كما هى العادة, فإن احد الجسيمين يسقط سقوطا حرا وراء افق الحدث داخل الثقب الاسود, أما الجسيم المضاد فإنه يطير فى الاتجاه المعاكس خارج الثقب الاسود...وهذا هو اصل اشعاع هاوكينج..
اذن كل مرة يمتص فيها الثقب الاسود احد هذه الجسيمات, التى طاقتها سالبة, فإن كتلته تتناقص..ويستمر الامر هكذا حتى تنعدم الكتلة و يختفى الثقب الاسود من الوجود...وتضيع كل تلك المعلومات معه...
هذه نقطة حساسة جدا..نشرحها أكثر...
الاشعاع الصادر عن الثقب الاسود يختلف عن الاشعاع الحرارى الصادر عن اى جسم اسود blackbody ..الاشعاع الحرارى لاى جسم مسخن-وهو ما نسميه الجسم الاسود- هو اشعاع احصائى يتبع فانون بلانك لاشعاع الجسم الاسود Planck's law of blackbody radiation و بالتالى فإنه يحتوى على كل المعلومات المحتواة فى الجسم الحرارى نفسه..
أما اشعاع هاوكينج الصادر عن الثقب الاسود فهو اشعاع عشوائى لا يتعلق الا على الكتلة, و العزم الحركى, و الشحنة خاصة الثقب الاسود-وهذا هو ما يسمى بمبرهنة اللاشعر no-hair theorem- و بالتالى فإنه لا يحتوى على اى معلومات تفصيلية عن الجسم المُشع الذى هو هنا هو الثقب الاسود...
هذا هو ما اصبح يعرف فيما بعد بتناقض معلومات الثقب الاسود black hole information pradox...
لكن ماهو الحل?
هل المعلومات تضيع او لا تضيع داخل الثقب الاسود...
الجواب الحاسم على هذه المسألة أتى من نظرية الاوتار و بالخصوص اكتشاف الفيزيائى الشاب مالداسينا Maldacena عام 1997 المعروف بإسم الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality الذى اعطى الحل حسب ظاهرة الهولوجرافى holography التى كان الفيزيائى الشهير توفت t'Hooft قد اقترحها سنوات قبل ذلك...
تفصيل هذا سيكون فى وقت آخر ان شاء الله..
لكن المهم بالنسبة لنا أنه فى عام 2004 اعترف هاوكينج أنه كان مخطئا بخصوص اعتقاده ان المعلومات تفنى داخل الثقب الاسود, وان الميكانيك الكمومى هو الصحيح, أى أن المعلومات لا يمكن تدميرها بأى شكل,حتى ولو داخل الثقب الاسود, وعليه فإن هاوكينج اعترف بكل روح رياضية انه خسر الرهان أمام براسكل, وكنتيجة لذلك اشترى لبراسكل موسوعة حول رياضة البايسبول, التى كانت اختيار هذا الاخير, كما كان الاتفاق السابق فى العام 1997...

ماهو الكمومى?ما المسؤول اعلم بها من السائل?

ماهو الكمومى?ما المسؤول اعلم بها من السائل?

اصعب سؤال سُئِلته..
احسن جواب فيها هو قول الرسول صلى الله عليه و سلم: ما المسؤول اعلم بها من السائل?
وهذا هو جواب -السلف الاجمالى- اذا صح التعبير فى هذه المسألة ..لكن سأُعطى ايضا جواب -الخلف التفصيلى- على مذهب كوبنهاغن....
المسؤول بهذا السؤال هو مختص-بين قوسين- و هو يفكر فى هذا الامر منذ حوالى 25 سنة-اى منذ ان تعلمه اول مرة فى الجامعة- والموضوع علمى و ليس ميتافيزيقى, وبالتالى هو يعتقد انه يمكن ان نعطى جواب على هذا السؤال مبنى على التجربة و الحساب, وليس مبنى على المنطق, ولو جواب تقريبى غير نهائى...

اولا نحن نقول كمومى فى مقابل او ضد كلاسيكى..الكلاسيكى سهل: هو كل جسم يخضع لقوانين نيوتن...اذن الكمومى فهو كل شيئ غير ذلك.. اى لا يمكن وصفه بقوانين نيوتن أبدا...
ثانيا الكلاسيكى موجود..الكمومى غير موجود حتى نتفاعل معه-هكذا يقول بور والمعادلات تحمل فعلا هذا المعنى الغريب وانا اتفق معه-...
التفاعل مع الكمومى نسميه نحن القياس..وقبل القياس الجسم الكمومى غير موجود..الذى هو موجود هو موجة- ليست حتى مثل الموجات الاخرى- تنتشر فى فضاء مركب-أى ليس الفضاء الحقيقى- حسب معادلة تسمى قانون شرودينغر...
اذن القياس هو الذى يؤدى الى تخلق الجسم..
ثالثا العلاقات السببية الحتمية موجودة فى الكلاسيكى لا تتخلف ابدا..وهذا ما جعل كل الفلاسفة القدماء و المحدثون يظنون انها ضرورة عقلية و هذا أكثر من الضرورة الطبيعية...
العلاقات السببية هى غير حتمية فى الكمومى و يمكن ان تتخلف..فهى فقط ضرورة طبيعية غير حتمية لانها فى الاساس كمومية...
وهذا قال به العبقرى الغزالى بسبب ميتافيزيقية معضلة الجبر والاختيار, ثم العبقرى مالبرانش بسبب ميتافيزيقية معضلة العقل و المادة, ثم قال به العبقرى هيوم لانه فقط شك, وهو أكبر شكاك موضوعى قرأت عنه فى كل الفلسفة, وهو بشكه هذا ضرب مرجعيته الفلسفية الحسية المثالية فى الصميم, لكن هو لا يهمه ابدا, فهيوم هو الملحد الوحيد الذى احترمه شخصيا الى اقص الدرجات, لان شكه الشديد و نقده المُدمر موضوعى لا يرحم بهما أحد حتى مرجعيته هو شخصيا....

هل نضحى بالميكانيك الكمومى أم بالنسبية العامة

هل نضحى بالميكانيك الكمومى أم بالنسبية العامة:
أكون او لا أكون خاصة الفيزياء النظرية!!
اصحاب الدراسة: فيزيائى نظرية الاوتار المشهور جوزيف بولشينسكى Joseph Polchinski, و دونالد مارولف Donald Marolf, و احمد المهيرى Ahmed Almheiri, و جايمس سالى James Sully..

موضوع الدراسة هو الثقوب السوداء و السؤال العميق هو: هل هناك ضياع للمعلومات عند سقوط المادة والاشعاع فى الثقب و عدم امكانية رجوعها من الناحية المبدأية, وبالتالى فإن الميكانيك الكمومى خاطئ, كما كان يعتقد هاوكينز قبل ان يتراجع مكتشف ظاهرة اشعاع الثقب الاسود عام 1974, أم نضحى بمبدأ التكافؤ الذى بنيت عليه النسبية العامة, عن طريق قطع التشابك الكمومى quantum entanglement بين الجسيمات الساقطة فى الثقب و الخارجة منه, والذى يؤدى الى تولد طاقة هائلة عند افق الحدث event horizon خاصة الثقب الاسود تسمى الجدار النارى firewall..
ليس هناك امكانية أخرى..
اترك الاجابة لاحد المؤلفبين دونالد مارولف-وهو استاذ نعرفه شخصيا انا و جمال من ايامنا فى جامعة سيراكيوس وقد كان هو استاذ هناك فى ذلك الوقت-يقول:
بالنسبة لنا, الجدار النارى هو الامكانية الاقل جنونا مع هذا الخيار المتروك لنا...
For us, firewalls seem like the least crazy option, given that choice...
وهذا الرأى الذى يعبر عنه هو رأى الاغلبية و الذى يعرفه الكل...يعنى فى رأيى الدراسة اعلاه لم تفعل الا انها أكدت هذا الرأى أكثر بالحساب النظرى...
انظروا البحث الاصلى هنا

http://arxiv.org/abs/1207.3123 

اينشتاين ضد بور

اينشتاين Einsein ضد بور Bohr
المنازلة رقم x
الحلبة: الميكانيك الكمومى
النتيجة: اينشتاين 0 بور x
كانت صدمة هائلة لبور..الذى لم يستطع فى البداية التفكير فى حل.. صرف كل تلك الليلة, فى حالة انفعال شديدة, جيئة و ذهابا بين العلماء, محاولا اقناعهم بأن ذلك لا يمكن أن يكون صحيحا, وانها ستكون نهاية الفيزياء أذا كان اينشتاين مُصيب, لكنه لم يستطع ايجاد أى حل للمعضلة.....
لم استطع ابدا ان انسى صورة الخصمين العنيدين عندما غادرا النادى.... اينشتاين, الطويل العريض, يمشى بهدوء, بابتسامة استهزاء خفيفة, و بور يهرول بجانبه مستثار الى اقصى الحدود....
لكن الصباح الموالى عرف انتصار بور المؤزر...
ليون روزنفالد Leon Rosenfeld احد العلماء الحاضرين فى مؤتمر سولفاى Solvay السادس عام 1930 يتحدث عن رد فعل بور, لتحدى آخر رفعه اينشتاين فى هذا المؤتمر ضد الميكانيك الكمومى, وبالضبط ضد مبدأ الارتياب لهايزنبرغ Heisenberg uncertainty principle, هذا التحدى يعرف الآن باسم علبة اينشتاين...
اولا: مبدأ الارتياب ينص أنه لا يمكن, من الناحية المبدأية, قياس اى مقدارين فيزيائيين مترافقين فى آن واحد بدقة لا متناهية..اذن الدقة التى سنختارها كما نشاء فى قياس مقدار فيزيائى معين, ستحدد الدقة القصوى التى نستطيع ان نقيس بها المقدار الفيزيائى الأخر المرفق به....وكلما زادت الدقة الاولى نقصت الدقة الثانية و العكس وجداؤهما هو بالضبط ثابت بلانك..هذا القصور هو تأثير فيزيائى كمومى بحت وليس هو عجز انسانى او عجز تكنولوجى-وارجوا ان تركزوا فى هذه النقطة التى تغيب حتى عن ذهن الكثير من الفيزيائيين-.. أما المقادير المترافقة فكثيرة..مثلا الموضع و كمية الحركة..ومثلا الزمن و الطاقة...
ثانيا: ادعى اينشتاين فى المؤتمر اعلاه انه يستطيع أن يقيس الزمن و الطاقة بدقة كيفية كما يلى...تصور علبة محكمة الاغلاق جدرانها عبارة عن مرايا عاكسة تحتوى على ضوء...يمكن ان نزن العلبة و الضوء الذى تحتويه باى دقة نختارها..نجهز العلبة بميكانيزم يسمح بفتح ثقب صغير فى العلبة, ثم بغلقه مباشرة, بعد ان يتسرب فوتون-اى جسيم الضوء- واحد فقط من العلبة..
نفتح الميكانيزم فى اى لحظة نختارها..
يقول انشتاين: نحن نعرف بالضبط الزمن الذى يخرج فيه الفوتون, ونعرف ايضا طاقته عن طريق وزن العلبة من جديد, واخذ الفرق فى الكتلة بين الوزن الاول و الوزن الثانى, ثم استخدام العلاقة النسبية التى تربط الطاقة بالكتلة, لمعرفة الطاقة...
اذن يقول اينشتاين انه بهذه الطريقة سنحسب الزمن و الطاقة باى دقة نريدها لكليهما و هذا مناقض لمبدأ الارتياب و للميكانيك الكمومى...
هذا هو ما صدم بور فى الصميم..
لكن الرجل وجد الحل فى خلال ليلة واحدة, فهو ليس اقل ذكاءا, وككل المرات التى تصارع فيها بور مع اينشتاين على الميكانيك الكمومى, ينتصر بور, ولهذا فهو بحق أب الميكانيك الكمومى, الذى دافع عنه-اى عن الميكانيك الكمومى- بشراسة منقطعة النظير, ضد هجمات اينشتاين الاكثر شراسة...
لكن الجميل ان هذا صراع علمى, فهما صديقان, و كل هذا لم يفسد بينهما للود قضية, وهذه مزية لا يتمتع بها الفلاسفة, و خاصة الفلاسفة الاسلاميون...
لكن ما هو الحل بالضبط?
ثالثا: يقول بور أن العلبة ستتحرك حركة شاقولية تحت تاثير اى تغير فى الكتلة...هذا يؤدى الى ارتياب فى السرعة الشاقولية وبالتالى ارتياب فى الارتفاع... من الجهة الاخرى, النسبية العامة-نسبية اينشاين نفسه- تنص على أن الثقالة تؤثر فى الزمن, اذن فإن الارتياب فى الارتفاع يؤدى الى ارتياب فى الزمن..
يعنى لا مهرب, الميكانيك الكمومى و بالخصوص مبدأ الارتياب صحيح: لا يمكن قياس الطاقة و الزمن فى آن معا بدقة كيفية...القياس الجيد للطاقة سيؤدى الى قياس سيئ للزمن و العكس...
اينشتاين قبل هذا الحل, الذى يمكن ان نسميه نحن هزيمة, لاننا نحب الكلمات الكبيرة, قبله اقول بكل صدر رحب...
هل يا ترى يمكن ان يقبل فلاسفتنا الاسلاميون الهزيمة امام بعضهم البعض?...
اقول انه حتى لو كان ما يتناولونه هو علمى و ليس ميتافيزيقى., فإنهم سُيجادلون, وانا متأكد من ذلك, لانها طبيعة الشرقى,و ليست طبيعة الموضوع كما ربما نظن لاول وهلة....

اهتزاز النيترينو بالعربية: على احدهم أن يقوم بالامر... مرة أخرى سأتطوع!

النيترينو neutrino هو جسيم شبح ليس فقط من جهة الضعف الشديد لتفاعلاته, وبالتالى صعوبة مشاهدته, و لكن ايضا من جهة اهتزازاته المستمرة و الدورية بين مختلف نكهاته flavors-شخصياته- الثلاثة عند انتشاره فى الفضاء..
النيترينو هو لبتون lepton لا يتفاعل الا عبر القوة النووية الضعيفة...هناك ثلاثة انواع-نسميها نكهات- من النيترينو...النيترينو المرفق بالالكترون..النيترينو المرفق بالميون muon..النيترينو المرفق بالتاوون tau ..والميون و التاوون هى اللبتونات الاخرى الشقيقان الكبيران للالكترون..وأنا افترض ان الالكترون-وهو اللبتون الاشهر-معروف للكل...
النيترينو لديه كتلة صغيرة جدا لكن غير معدومة...هذا يتسبب فى ظاهرة طبيعية من اعمق ما يكون تسمى اهتزاز النيترينو..والاهتزاز ليس هو تهافت النيترينو تحت تأثير أى قوة, بل هو تغير لنكهة النيترينو عند انتشاره فى الفضاء, فقط بسبب الكتلة غير المعدومة للنيترينو...
سأفترض للتبسيط ان لدينا نكهتين مختلفتين فقط للنيترينو هى النيترينو الاكترونى و النيترينو الميونى..
تصوروا الان مثلا نيترينو الميون nu_\mu\ الذى ينتج مع الميون نفسه mu\ من تهافت جسيم البيون pion الذى نرمز له ب pi\ المعطى بالتفاعل النووى الضعيف التالى
\pi...> \mu+\nu_\mu
هذا النيترينو الميونى عند انتشاره فى الفضاء سوف يتحول الى نيترينو الكترونى nu_e\ , ثم هذا الاخير هو ايضا سيرجع و يتحول الى نيترينو ميونى, وهكذا,ويبقى التحول من النيترينو الميونى الى النيترينو الالكترونى والعكس عبر الاهتزاز يحدث يصفة مستمرة و دورية فى الزمن...
من الناحية الرياضية الفيزيائية هذا يمكن فهمه كالتالى..
الحالات النيترينوية nu_e\ و nu_\mu\ التى تنتج فى التفاعل اعلاه هى حالات ذاتية eigenstates للقوة النووية الضعيفة, اما الحالات الذاتية لمؤثر الكتلة فهى حالات مختلفة نكتبها مثلا ne_1\ و ne_2\ ...
اذن لدينا فضاء هيلبرت Hilbert space ثنائى البعد اساسه معطى بالحالات الذاتية النووية الضعيفة او بالحالات الذانية للكتلة... لا فرق لان هذا فضاء هيلبرت...
بعبارة أخرى يمكن أن ننشر decompose الحالات النووية الضعيفة بدلالة الحالات الذاتية للكتلة كما الصورة ادناه حيث theta\ هى زاوية الامتزاج mixing angle بين النيترينو الالكترونى و النيترينو الميونى...
هذه الحالات كلها تتعلق بالزمن...أما زاوية الامتزاج فهى زاوية امتزاج لا تتعلق بالزمن...
من الواضح ان مؤثر الطاقة-اى الهاميلتونية- سيكون قطري diagonal فى الحالات الذاتية للكتلة لان الكتلة هى الطاقة..بعيارة اخرى الحالات الذاتية للكتلة نحصل عليها من حل معادلة شرودينغر..
بالتعويض فى المعادلة فى الصورة نحصل على الحالات الذاتية النووية الضعيفة كدوال فى الزمن..
احتمال الاهتزاز يعطى بأخذ الجداء السلمى scalar product المناسب بين الحالات الذاتية النووية الضعيفة...
فمثلا احتمال ان يتحول النيترينو الميونى, الذى يُنتج فى التفاعل اعلاه فى اللحظة صفر, الى نيترينو الكترونى فى اللحظة t, بعد ان ينتشر النيترينو الميونى مسافة L يعطى باخذ مربع طويلة الجداء السلمى
<\nu_e(t)|\nu_\mu(0)>
لاحظ اين نضع الزمن t ..
بعد الحساب-بسيط نسبيا- نحصل على النتيجة التى فى الصورة..
تطبيق على النيترينوات الشمسية solar neutrinos..عدد النيترينوات الالكترونية التى تنتجها الشمس هو ضعف عدد النيترينوات الالكترونية التى نشاهدها على الارض..النصف الباقى يتحول الى نيترينوات ميونية بفعل الاهتزاز عند وصوله الى الارض..
تطبيق على النيترينوات الكونية cosmic neutrinos..لدينا فى هذه الحالة بالاضافة الى التفاعل اعلاه
\pi...>\mu+\nu_\mu
التفاعل الذى يتحول فيه الميون الى الكترون و نيترينو الكترونى ونيترينو ميونى مضاد كما يلى
\mu.....> e+\mu_e+\bar\nu_\mu
اذن نرى من التحولين اعلاه ان عدد النيترينوات الميونية هو ضعف عدد النيترينوات الالكترونية...
لكن الذى نراه على الارض هو ان العدد متساوى لان نصف النيترينوات الميونية يتحول بفعل الاهتزاز الى نيترونات تاوونية...

الطاقة المظلمة: خطيئة اينشتاين التى اصبحت أكبر انجازاته!! هكذا يكون الحظ والا فلا...

الطاقة المظلمة هى الكائن الكونى الوحيد الذى لا يتعلق بتوسع المكان...
لهذا تجد الكون خلال عمره المحدود عندما كان صغيرا فى الحجم عاش مرحلة تسمى هيمنة الاشعاع, ثم لما كبر فى الحجم أكثر عاش مرحلة تسمى هيمنة المادة-مادة مضيئة و مادة مظلمة بغض النظر-, والان هو يعيش مرحلة تسمى هيمنة الطاقة المظلمة...
فالتوسع المكانى يُميع الاشعاع اسرع بكثير مما يميع المادة لكنه لا يُميع الطاقة المظلمة على الاطلاق...أنظروا معادلة فريدمان Friedmann فى منشور البارحة...
لكن ماهى الطاقة المظلمة?
لا أحد يعرف...
لكن نحن نعتقد-الاغلبية الساحقة من الفيزيائيين-ان الطاقة المظلمة هى الثابت الكوسمولوجى الذى أدخله اينشتاين على معادلته ليحصل على كون ساكن-اى عالم قديم بعبارة الفلاسفة تصوروا- ثم لما اكتشف هابل Hubble توسع الكون, رجع اينشتاين و سحب اقتراحه وقال نادما: هذه أكبر خطيئة ارتكبتها فى حياتى!!...
لكن اكتشف الفيزيائيون فيما بعد أن الكون فى حالة توسع متسارع, وأن هذا لا يمكن ان يتسبب فيه الا ضغط سالب!-اى ثقالة مضادة- و ان الثابت الكوسمولوجى هو الشيئ الوحيد الذى نعرفه الذى يتميز بضغط سالب, ويالتالى يمكن ان يؤدى الى توسع متسارع....فرجع هؤلاء الفيزيائيون و اضافوا ثابت اينشتاين الى المعادلات, واصبحت أكبر خطيئة لاينشتاين انجاز آخر يضاف الى قائمة انجازاته, وهكذا فهو عندما يصيب يأتينا بالنسبية العامة و الخاصة وأمور أخرى عظيمة, وعندما يخطئ يأتينا بالثابت الكوسمولوجى..
هل رأيتم او سمعتم عن حظ يمشى ضد قانون الحظ مثل حظ هذا الرجل.. اليهودى المحظوظ!!! ...
لكن كيف نحسب الثابت الكوسمولوجى اى الطاقة المظلمة رياضيا?..
ايضا هناك اعتقاد شبه مُجمع عليه ان هذا الثابت يُحسب من الطاقة الكمومية للفراغ..هنا الفراغ لا نقصد به لا الفضاء و لا العدم بل نقصد به الحالة الكمومية الاساسية للكون, وهى رغم انها لا تحتوى على أى جسيمات حقيقية, فهى تحتوى على جسيمات افتراضية لها طاقة محسوسة يمكن أن تقاس تجريبيا..واشهر مثال على ذلك تأثير كازيمير Casimir effect..
لكن عندما نُجرى هذا الحساب على الكون نحصل على قيمة للطاقة المظلمة اكبر ب 30**10 مرة من قيمة الطاقة المظلمة التى تعطيها التجربة..هذه المسألة تُعرف باسم مسألة الثابت الكوسمولوجى cosmological constant problem و هى من اعقد المسائل النظرية فى الفيزياء الكوسمولوجية و الفيزياء الكمومية..

معادلة فريدمان: القانون الاساسى للكون

معادلة فريدمان Friedmann فى الصورة الاولى ادناه..هذه هى المعادلة التى تتحكم فى توسع الكون...هذه المعادلة هى مستنتجة من معادلة اينشتاين ...
نشرحها قليلا..
-ثابت هابل Hubble constant H_0 الذى يقيس التناسب الخطى بين سرعة ابتعاد المجرات بالنسبة لنا و المسافة الى هذه المجرات..مقلوب ثابت هابل هو بالضبط عمر الكون...الصورة الثانية ادناه..
-متغير هابل Hubble parameter H..وهو يتعلق بمعامل السلم scale factor a=a(t) الذى يقيس حجم الفضاء او المكان...حجم الفضاء هو متناسب مع a**3 ...
حدود معادلة فريدمان...
-الحد الاول هو تأثير الاشعاع على توسع الكون..
-الحد الثانى هو تأثير المادة على توسع الكون..المادة المظلمة تحسب ضمن المادة...
-الحد الثالث هو تأثير انحناء المكان على توسع الكون..
-الحد الرابع هو تأثير الطاقة المظلمة او طاقة الفراغ على توسع الكون..
فى كل هذه الحدود Omega\ هى الكثافة: كثافة الاشعاع, كثافة المادة, كثافة انحناء المكان و كثافة الطاقة المظلمة..ومجموع هذه الكثافات يساوى واحد...
أهم القياسات التجريبية لحد الان...
كثافة انحناء المكان حسب القياسات الاخيرة لمرصد بلانك هى تقريبا صفر..اذن الفضاء او المكان مسطح...ايضا فإن كثافة الطاقة المظلمة مهيمنة بالكامل-حوالى 70 بالمائة- و بالتالى فإن توسع الكون هو فى حالة تسارع...وأن كثافة المادة المظلمة تهيمن على القطاع المادى بنسبة 25 بالمائة أما المادة النجمية فلا تشكل الا 5 بالمائة...

مسلمات النظرية الكمومية

يدرس الكثيرون الفيزياء الكمومية و الميكانيك الكمومى لسنوات طويلة, و رغم هذا يبقى لديهم مشكل حقيقى فى تحديد المسلمات الاساسية لهذا العلم العظيم, و ايضا فى تحديد ماهية المشكل الفلسفى العميق الذى يعانى منه الميكانيك الكمومى, رغم النجاح التجريبى الساحق له فى تفسير كل شيئ فى العالم الميكروسكوبى المجهرى..
لا اطيل عليكم...عندى شخصيا ثلاث مسلمات احدثكم عنها...
-المسلمة الاولى: حالة اى جملة فيزيائية توصف بدالة تسمى دالة الموجة..هذه الدالة هى عبارة عن تركيب خطى لكل الحالات الممكنة التى يمكن ان تكون فيها الجملة..
اهم كلمة مفتاحية فى المسلمة الاولى هى -التركيب الخطى- .. حتى ان هذ المسلمة تسمى مسلمة التركيب الخطى..
دالة الحالة هى نقطة فى فضاء شعاعى مركب يسمى فضاء هيلبرت...هذه الدالة
تتطور فى الزمن بشكل مستمر حتمى يعطى بمعادلة شرودينغر...

المسلمة الثانية: نظريا عند قياس مقدار فيزيائى ما فإنه لا يمكننا ان نحصل الا على القيم الذاتية للمؤثر على فضاء هيلبرت المرفق بهذا المقدار...
القيمة المنتظرة لهذا القياس تساوى المجموع على القيم الذاتية لهذا المقدار, كل واحدة مضروبة فى احتمال الحصول عليها, هذا الاحتمال يُحسب بأخذ مربع طويلة الجداء السلمى بين دالة موجة الجملة التى تعطيها معادلة شرودينغر, و دالة الموجة الذاتية للمؤثر المرفقة بالقيمة الذاتية ...انظر الصورة من اجل المعادلة...هذه المسلمة تسمى مسلمة القياس...
مثال: لو أجرينا مثلا 100 عملية قياس للطاقة فإنه نحصل كل مرة على قيمة ذاتية لمؤثر الطاقة, و لنفترض أن عدد المرات التى حصلنا فيها على القيمة الذاتية الاساسية E_0 مثلا, وجدناه 30 مرة من المائة مرة, فإن الاحتمال 30/100 هو بالضبط مربع طويلة الجداء السلمى بين دالة موجة الجملة, و دالة الموجة الاساسية للطاقة المرفقة ب E_0 ....
-المسلمة الثالثة: تجريبيا عندما نقيس مقدار فيزيائى ما فإننا نجد إمكانية واحدة, وليس كل الامكانيات المحتواة داخل دالة الموجة, و الذى يحدث تجريبيا أن حالة الجملة بعد القياس تنهار لحظيا, بسرعى لا نهائية, الى الحالة الذاتية للجملة المرفقة بالقيمة التى حصلنا عليها فى القياس...هذه المسلمة تسمى مسلمة انهيار دالة الموجة...
اهم كلمة مفتاحية فى المسلمة اعلاه -تنهار لحظيا-....هذا الانهيار هو سبب كل المشاكل فى التفسير..والذى لا تحيره هذه المسلمة فهو بكل بساطة لم يفهم بعد محتوى الذى قيل, وابعاده الفيزيائية و الرياضية و الفلسفية...
كل الذى ذكرناه آنفا مؤكد تجريبا 100 بالمائة..كيف يمكن ان نفسر كل هذا تفسيرا فيزيائيا صحيحا...هذا هو السؤال?

انحراف الضوء تحت تأثير الثقالة

انحناء الفضاء-زمن بسبب وجود كتلة فى الوسط..فى الصورة ادناه نرسم للتبسيط فقط انحناء الفضاء او المكان تحت تأثير كتلة الارض..لكن نفس الشيئ يحدث للزمن..
الان يأتى ضوء و يمر بالقرب من الشمس: الفضاء-زمن هناك منحنى بشكل أكبر مما هو منحنى حول الارض, بسبب الكتلة الاكبر, يُحس الفوتون بذلك الانحناء, و يتبعه, او بالاحرى يتبع اقصر الطرق فى ذلك الفضاء-زمن المنحنى, ويظهر لنا النجم الذى صدر منه الفوتون فى مكان غير مكانه الحقيقى فى السماء بسبب انحرافه تحت تأثير الثقاله هذا...
اقصر الطرق التى يتبعها الفوتون فى هذا الفضاء يسمى الجيوديزيك geodesic ...وهو من الخواص الهندسية الاساسية للفضاء-زمن....الجيوديزيك بعبارة أخرى هى طرق السقوط الحر فى هذا الفضاء-زمن..يمكن بناء كامل الفضاء-زمن فقط من معرفة عائلات الجيوديزيك ...
كل هذا شيئ مؤكد تجريبيا اذن لا جدال و لا مراء..فالكل يرضخ للحس...
انحراف الضوء هكذا هو اكبر انتصارات النسبية العامة لاينشتاين...

الحدود بين الدولتين الكمومية و الكلاسيكية يحددها ال decoherence

الميكانيك الكمومى النسبى فى اقل من ثلاث دقائق-مصفوفات ديراك

-نأخذ الوحدات الطبيعية التى نضع فيها سرعة الضوء و ثابت بلانك يساوى واحد..
-مترية الفضاء-زمن او فضاء مينكوفسكى تعطى ب
ds**2=dt**2-dx_i**2
هذه تقيس المسافة بين نقطتين فى الفضاء-زمن متقاربتين بشكل لا متناه فى الصغر..نعرف احداثيات شعاع الموضع الرباعى four-vector position ب
x^0=x_0=t
x^1=-x_1=x
x^2=-x_2=y
x^3=-x_3=z
لاحظوا الاشارة..مترية الفضاء-زمن تصبح
ds**2=dx_a*dx^a
لاحظوا الدليل a: مرة فى الاسفل و مرة فى الاعلى..نقول اننا قلصنا contracted الدليل a ..الدليل a يأخذ القيم من صفر الى ثلاثة..كون الدليل مكرر ومرة فى الاعلى و مرة فى الاسفل يعنى اننا نجمع على جميع قيم الدليل اى ان العبارة اعلاه تعنى
dx_a*dx^a=dx_0*dx^0+dx_1*dx^1+dx_2*dx^2+dx_3*dx^3
هذه الكتابة المختزلة تسمى اتفاقية اينشاين للجمع..
-معادلة اينشتاين للطاقة تكتب على الشكل
E**2=p_1**2+p_2**2+p_3**2+m**2
نعرف مركبات شعاع كمية الحركة الرباعى ب
p^0=p_0=E
p^1=-p_1=p_x
p^2=-p_2=p_y
p^3=-p_3=p_z
يمكن اعادة كتابة معادلة اينشتاين بدلالة مركبات شعاع كمية الحركة الرباعى four-vector momentum كالتالى
p_a*p^a-m**2=0
-مبدأ التقابل correspondence principle يسمح لنا بالمرور من العبارة النسبية الكلاسيكية الى العبارة النسبية الكمومية عن طريق تعويض مركبات شعاع كمية الحركة الرباعى بمؤثرات تفاضلية هى عبارة عن الاشتقاق بالنسبة الى مركبات شعاع الموضع الرباعى four-vector position اى
p_a.....>i*d_a
حيث i هو العدد التخيلى البحت و d_a يعطى بالاشتقاق التفاضلى الجزئى
d_a=d/dx_a
نحصل بالتعويض فى معادلة الطاقة على
d_a*d^a+m**2=0
لان الذى نحصل عليه هو مؤثر فإنه يجب ان يؤثر على شيئ..هذا الشيئ هو بالضبط دالة الموجة psi\..اى انه يجب ان نكتب
0=i*(d_a*d^a+m**2)*\psi
هذه هى معادلة كلاين-جوردن Klein-Gordon التى اكتشفها اول مرة شرودينغر والتى تعطى عبارة للاحتمال يمكن ان تكون سالبة و على هذا رفضها شرودينغر...شرودينغر اعاد نفس العمليات اعلاه باستعمال علاقة الطاقة الكلاسيكية للوصول الى معادلته الشهيرة..معادلة كلاين-جوردن هى معادلة الحقل السلمى اى ان تفسير psi\ كحقل وليس كدالة موجة هو الصحيح..
-ديراك لم يعجبه عدم تمكن شرودينغر و كلاين و جوردن من استخراج معادلة موجة نسبية تعطى تعريف موجب دائما للاحتمال...الملاحظة الاساسية التى توصل اليها ان معادلة شرودينغر تعطى احتمال موجب دائما لانها معادلة تفاضلية من الدرجة الاولى و أما معادلة كلاين-جوردن فلا تعطى عبارة احتمال لانها معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية..
اذن ديراك فكر انه حتى ينجح فى الحصول على تعريف احتمال نسبى, عليه ان يستخرج من معادلة اينشتاين للطاقة معادلة تفاضلية من الدرجة الاولى, وهذا هو الحل فعلا...
يرجع الى معادلة الطاقة النسبية لاينشتاين ونحاول تفكيك الشكل التربيعى الى حدوده اى نحاول ان نكتب
p_a*p^a-m**2=(\gamma_a*p^a+m)*(\gamma_a*p^a-m)
السؤال المحدد جدا: ما هى الاشياء gamma_a\ ?... اولا هذه لا يمكن ان تكون اعداد حقيقية او مركبة...ثانيا يمكن ان نتحقق بكل سهولة من المعادلة اعلاه ان هذه الاشياء يجب ان تحقق المعادلة
\gamma_a*\gamma\_b+\gamma_b*\gamma_a=2*g_{ab}
حيث g_{ab} هى مصفوفة المترية التى تساوى 1, -1 ,-1,-1 على القطر و صفر فى كل مكان آخر.
حل المعادلة اعلاه هى مصفوفات بعدها اربعةxاربعة تسمى مصفوفات ديراك...انظر الحل الصريح فى الصورة..
اذن ديراك يستنتتح ان معادلة طاقة اينشتاين هى مكافئة ل
\gamma_a*p^a-m=0
باستخدام مبدأ التقابل كما فعلنا فى السابق نحصل على معادلة ديراك الشهيرة
0=i*(\gamma_a*d^a-m)*\psi
مصفوفات ديراك تعبر عن سبين الجسيم الذى تصفه دالة الموجة psi\ الذى بعد الحساب يتصح انه يساوى نصف..تذكر ان السبين هو خاصية للجسيم مكافئة تماما للكتلة تحسب العزم الحركى الذاتى للجسيم..ايضا معادلة ديراك اعلاه تؤدى مباشرة الى وجود جسيم مضاد لكل جسيم فى الكون وهذا ربما هو اهم انجازاتها على الاطلاق..

الفيزياء النظرية

جمال الفيزياء النظرية, فى رأيى, هو فى اعتمادها ككل العلوم على الطريقة العلمية الاساسية وهى التجربة من جهة, لكن من جهة أخرى اعتمادها فى البناء و البرهان على حد هائل من الرياضيات, لا يعلم مداه الا الله و الراسخون فى هذا العلم.....
ثم قبل التجربة و بعد الرياضيات, تُوفر الفيزياء النظرية مُدخل طبيعى و ايضا عميق جدا, لا يعرف غور عمقه الا من مارسها من هذا الاتجاه, على الفلسفة, وبخاصة الميتافيزيقا اى فلسفة الوجود او الانتولوجى عن طريق فلسفة النظرية الكمومية, و فلسفة النسبية, وفلسفة الزمن, ومسألة السببية, وغيرها...
لكن الفيزياء النظرية لها ايضا علاقة وثيقة بفلسفة العقل, و فلسفة الجبر و الاختيار, وفلسفة الرياضيات و المنطق, وبصفة عامة فلسفة المعرفة او الابيستيمولوجى...
حقيقة الامور متشابكة و متداخلة وهذا ما يجعل هذا المجال مثيرا للاهتمام, و تحديا كبيرا للدراسة و الفهم, ينتشلنا و ينسينا او يلهينا من واقع حياتنا السياسى, و التعليمى, و الثقافى, و الاجتماعى الخ, الذى اقل ما يقال فيه انه بائس بؤسا يعجز عن وصفه صاحب البؤساء ..

معادلة شرودينغر أم كل شيئ كمومى: هل تحتاج الى تقديم!

The chiral/axial and conformal/Weyl/trace anomalies

-symmetry is a fundamental concept in theoretical physics...
-a symmetry is exhibited classically by the invariance of an action principle under some transformations...
-quantum mechanically, a symmetry is exhibited by the invariance of the path integral under the above transformations ..
-if the path integral remains symmetric while the vacuum is not we speak of spontaneous symmetry breaking...
-sometimes, after properly quantizing a theory, the path integral fails to remain symmetric...in this case we speak of an anomaly..
-A classic example is the axial or chiral anomaly which is the non-invariance of the path integral measure under global chiral transformations...everything is encoded in the famous one-loop triangle diagram...this anomaly can be explained as a tunnelling process from one vacuum to another called instanton..this anomaly gives the correct rate for the decay of pion into photons, viz
\pi^0....>\gamma+\gamma
-another important example of anomaly is the conformal or Weyl anomaly..the conformal group SO(D,2) where D=4 contains, beside Lorentz transformations and translations, conformal transformations...rotations and translations can never be broken....scale transformations can be broken by anomaly....most theories which are scale invariant are also conformally invariant..the scale transformation is given by the scaling of the metric
g_{ab}.......>\lambda*g_{ab}
This is a symmetry of the action principle in the absence of mass..We will assume that we have fermions in the fundamental representation of a unitary group....The quantum Weyl anomaly is then signalled by the non-vanishing of the beta function...This is precisely equivalent to the introduction of a dynamically generated confinement mass scale which in turn determines the masses of the hadrons..this conclusion remains unaltered if we have started out with massive fermions...since the masses of the quarks are very small compared to the confinement scale ...
-If we add enough supersymmetry, then conformal symmetry become exact both at the quantum and classical levels..The classical example is N=4 supersymmetry in D=4 dimensions...
-In the case of string theory conformal symmetry can not be broken by anomaly since there they are local symmetries...This is what gives critical strings at D=10 and D=26....local symmetries, such as gauge symmetries, can not be broken by anomaly because of unitarity and causality....
-The conformal or Weyl anomaly is also called the trace anomaly..this is because in the context of general relativity the trace of the stress-energy-momentum tensor is precisely what determines the variation of the action with respect to the conformal rescaling..thus the conformal or Weyl or trace anomaly is given by the vacuum expectation value of the stress-energy-momentum tensor...

تناظرات الفضاء-زمن: لن اترك واحدا لن اذكره هذه المرة!

زمرة التحويلات النقطية المسماة الزمرة الامتتثالية conformal group هى زمرة جزئية محتواة داخل زمرة التحويلات العامة للاحداثيات او الديفيومورفيزمات diffeomorphism التى تترك مترية metric الفضاء غير متغيرة....التحويلات الامتثالية بالاضافة الى ترك المترية غير متغيرة فإنها تترك الزوايا بين الاشعة ثابتة و تغير فقط الاطوال...
زمرة التحويلات الامتثالية تتشكل من:
-تحويلات لورنز Lorentz transformations اى الدورانات rotations و الدفوعات boosts..المعادلة الاولى فى الصورة
-الانسحابات translation..المعادلة الثانية..
-التحويل السلمى scale transformation..المعادلة الثالثة..
-التحويلات الامتثالية الخاصة special conformal transformations التى هى عبارة عن عكس+انسحاب+عكس حيث ان العكس inversion هو التحويل الذى يأخذ x الى x**-1 ..المعادلة الرابعة..
كل هذه التحويلات هى تناظرات مضبوطة فى الكون...

الفضاءات الكسورية

فضاء مندلبروت Mandebrot set هى كسورية fractal اى فضاء ذو بعد كسرى,,هل يمكن ان تتصوروه?..حتى لو لم يمكن ان تتصوروه فهو موجود على الاقل فى الذهن.
نحصل علي فضاء مندلبروت كالاتى:
-ليكن z_0 و c عددين مركبين....
-نغير العدد المركب z انطلاقا من قيمته الابتدائية z_0 بالقاعدة
z_n+1=z_n**2+c
اذا كانت سلسلة الاعداد z_n التى نحصل عليها هى محدودة bounded فى المستوى المركب اى لا تذهب الى مالانهاية فإن العدد المركب c ينتمى الى فضاء مندلبروت ونرسمه كنقطة سوداء فى المستوى المركب.......نجرب قيمة اخرى ل c و هكذا, دائما نرسم c كنقطة سوداء فى المستوى المركب اذا كانت سلسلة الاعداد المركبة z_n التى نحصل عليها بالقاعدة اعلاه محدودة...نحصل على الفضاء فى الصورة الاولى........
اغرب ما فى هذا الأمر ان فضاء مندلبروت هو فضاء متماثل ذاتيا self-similar اى انه اذا رأيناه فى أى نقطة منه تحت المجهر, اى نكبر الصورة حول اى نقطة, فإننا سوف نشاهد نفس الشكل..وكلما كبرنا كلما رأينا نفس الشكل...انظر المحاكاة ادناه...

ENIAC

اول كمبويتر او حاسوب الكترونى عام 1946...اسمه اينياك ENIAC.......تابع لمختبرات الصواريخ التابعة للجيش الامريكى..اول حساب تجريبى كان لحساب برنامج مانهاتن للسلاح الذرى التابع ايضا للجيش الامريكى..هذا الكمبيوتر التاريخى خرج من الخدمة عام 1955...

اول ثورة فى العلم: ثورة كوبرنيكوس

اول ثورة فى العلم: ثورة كوبرنيكوس Copernican revolution

هذه اول ثورة بالمعنى الحقيقى للكلمة فى الفيزياء قام بها الفيزيائى البولونى-الالمانى نيكولوس كوبرنيكوس Nicolaus Copernicus...بكل بساطة هذه تتلخص فى القول بأن الارض هى التى يجب ان تدور حول الشمس و ليس العكس كما فى النموذج القديم المسمى بالنموذج البطلمى Ptolemaic model ...النموذج البطلمى كان قد انتقده من قبل الفيلسوف الاسلامى ابن رشد و كوبرنيكوس كان على دراية بهذا الامر...و كان ايضا هناك تأثير واضح على كوبرنيكوس من قبل الفلكيان المسلمان ابن الشاطر و مؤيد الدين العرضى...

فى المحاكاة ادناه نقارن بين النموذج القديم الارضى-المركزى geocentrique و النموذج الصحيح الشمسى-المركزى heliocentrique...انظروا الى حركة عطارد-اللون الاحمر- فى حالة النموذج الارضى-المركزى و التى كانت ضد المعطيات الفلكية وهو ما دفع كوبرنيكوس الى النموذج الشمسى-المركزى...هذه احدى ابسط و انجح النظريات الفيزيائية....
هذه الثورة اكملها بعد كوبرنيكوس الفيزيائى الدنماركى تيكو برا Tycho Brahe ثم الالمانى يوهان كيبلر Johannes Kepler ثم الايطالى غاليليو غاليليى Galileo Galilei ثم انهاها الانجليزي اسحاق نيوتن Isaac Newton بكتابه البرنسيبيا Principia..

الفناء

نهاية او موت الكون
اربع احتمالات لا غير...انظر الصورة الاولى او الصورة الثانية مع الشرح...اذن الذى يجرى علينا من الموت, سيجرى على النجوم, ثم المجرات, ثم الثقوب السوداء-الصورة الثالثة- ثم الفوتونات-الصورة الاخيرة- , وهى اخر من يبقى, ثم لا يبقى شيئ الا الله...كل شيئ هالك الا وجهه....انا لله و انا اليه راجعون..وعظم الله أجركم مسبقا...

بين العقل و الكون

شيئ يحيرنى دائما هو قول الله سبحانه و تعالى: لخلق السموات والأرض أكبر من خلق الناس ولكن أكثر الناس لا يعلمون
اذن خلق العالم أكبر من خلق الانسان..وشخصيا ظننت دائما ان الانسان بروحه و عقله اكبر خلقا من الكون...لكن يبدو اننى كنت ذاهلا فقط عن الحقائق العلمية البسيطة:
-اولا الكون و الانسان يشتركان فى المادة و هى تتصرف حسب القوانين الكمومية..وهى القوانين التى تتحدى عقلانية العقل...الكون و العقل متساويان من هذه الناحية...
-ثانيا الكون يزيد على الانسان حتى من الناحية المادية لان 95 بالمائة من مكونات الكون هى مادة مظلمة+طاقة مظلمة و هذه لا تدخل فى تكوين الانسان المادى الذى تدخل فيه فقط المادة المضيئة...اذن الكون يتفوق على العقل من هذه الناحية...
-ثالثا الانسان يتميز بالروح و العقل..لكن الكون يتميز بالمكان و الزمان...هل المكان شيئ بسيط فى هذا الكون?..هل فعلا نفهم حقيقة الاعداد الفلكية للمكان?...
ثم الزمان أليس هو أمر احتار فى تناوله العقل مثلما احتار العقل فى تناول العقل?...لو ركزنا اكثر و تأملنا الامر لوجدنا ان المشاكل العقلية التى نتورط فيها عند تفكيرنا فى الزمن تُضاهى و ربما تزيد عن المشاكل العقلية التى نتورط فيها عند تفكيرنا فى العقل و الوعى و غيرها...ثم ألا نرى ان السباق بين الزمن و العقل يغلب فيه الزمن أكيد..فالعقل يقاس فى الزمن و ليس العكس..والعقل اذا قسناه بوجود الكون نفسه فله نهاية..فالكون تقول الفيزياء الحديثة له عمر محدود يسمى التجمد الاعظم big freez او الانفتاق الاكبر big rip او الانضياق الأكبر big crunch... و سيفنى الانسان و عقله, الذى تسبب لنا بكل هذه المشاكل و غيرها, قبل أن يدرك الكون تلك المرحلة من عمره لا محالة...
-لكن يبقى اغرب ما فى العقل هو ذاتيته وادراكه لنهايته اى الموت...هل يدرك الكون نهايته..لا أدرى و لا اعتقد ذلك....أليس بسبب هذا الفرق فى الادراك للنهاية يقول كثير من الانسان يوم القيامة بعد فوات الاوان : يا ليتنى كنت ترابا...لكن رغم هذا فإن نهاية الكون يعنى نهاية الزمان نفسه و هذا من ابلغ ما يكون...اذن ربما هو لا يحتاج ان يدرك نهايته لانها هى النهاية التى ليس بعدها شيئ... 

والله لم أستطع أن افهم أى شيئ من هذه الامور..لكن سأبقى أحاول..لاننى بكل بساطة لا أمل و لا أكل...

مسائل و جوائز الالفية الثالثة لمعهد كلاى للرياضيات

مسائل و جوائز الالفية الثالثة لمعهد كلاى Clay للرياضيات

وقد اُعلن عنها فى عام 2000 ...كتحدى لكل الرياضيين و الفيزيائيين النظريين و الحاسوبيين النظريين...
وهى سبعة مسائل فى الرياضيات و الفيزياء النظرية و علوم الحاسوب النظري...
لم تحل منها الا واحدة..اذن بقت ستة..
وقيمة كل جائزة مليون دولار..ولاننا لسنا مادىيين هنا نقول أن المليون دولار غير مهمة بقدر ماهو مهم و لا يقدر بثمن دخول العلم و التاريخ من اوسع الابواب عن طريق حل واحدة من هذه المسائل....

-المسألة الاولى: بين ان P=PN ..وهى مسالة تخص علوم الحاسوب النظري...بين أنه من اجل خوارزمية يمكن ان تتحقق من حل معين لمسألة فى زمن كثير حدود polynomial time توجد ايضا خوازمية يمكن ان تجد الحل نفسه فى زمن كثير حدود...
-المسألة الثانية: حزرية بوانكريه Poincare conjecture ..وهى تخص الطوبولوجيا topology..بين أن أى كرة فى أى بعد, هى مثل الكرة فى بعد ثلاثة, من ناحية انها فضاء متضام compact و ذى-ارتباط-بسيط simply-connected...
-المسألة الثالثة: حزرية هودج Hodge conjecture ...تخص الهندسة الجبرية algebraic geometry...بين ان الكهومولوجية cohomology والهومولوجية homology يشكلان ثنائية بوانكريه Poincare dual فى بعض الحالات...انظروا هذه الحالات فى الاعلان الرسمى...
-المسألة الرابعة: فرضية ريمان Riemann hypothesis...وهذه مهمة بالنسبة للتحليل المركب و نظرية الاعداد و بخاصة خواص الاعداد الاولية...برهن أن جذور دالة زيتا zeta لريمان بعد اجراء الاستمرار التحليلى analytic continuation عليها لها قسم حقيقى يساوى نصف...
-المسألة الخامسة: نظرية يانغ-ميلز Yang-Mills theory...وهذه تخص الفيزياء النظرية للحقول المعيارية للقوة النووية الكبرى..احسب طيف الجملة و برهن ان هناك فجوة كتلية mass gap بين الحالة الاساسية و الحالة المثارة الاولى..ثم برهن على الانحباس اللونى color confinment النووى...هذه ستوصلك الى نوبل Nobel فى الفيزياء و فيلدز Fields فى الرياضيات بالاضافة الى جائزة كلاى Clay للرياضيات...
-المسألة السادسة: معادلات نافيى-ستوكس Navier-Stokes equations ..وهذه تخص الفيزياء النظرية لميكانيك الموائع..بكل بساطة حل هذه المعادلات فى اقصى عمومياتها...
-حدسية بيرخ Birch و سوينرتون-داير Swinnerton-Dyer ... اوجد جذور المعادلات المعرفة للمحنيات القطعية-الناقصة elliptic curves على مجموعة الاعداد الناطقة...
فقط المسألة الثانية الخاصة بحزرية بوانكريه قد حلت, لذا لا تحاولوا هنالك, لكن حكاية حلها كأنها من حكايات الف ليلة و ليلة, و ساقصها عليكم فى مرة أخرى ان شاء الله..


http://www.claymath.org/millennium-problems 

قانون غوس للثقالة فى عدد ابعاد كيفى

البرهان: نموذج عن روح الفيزياء

-نفترض اننا نعيش فى فضاء اقليدى بعده d ...
-نفترض انه لدينا توزيع كتلة كيفى فى هذا الفضاء...الكتلة الاجمالية M ...
-نعرف أن حقول الحقل الثقالى التى تولدها هذه الكتلة قطرية اى تمر كلها عبر مركز ثقل توزيع الكتلة, و تتجه بعيدا عنه...
-نريد ان نحسب الحقل المولد فى نقطة تقع خارج توزيع الكتلة..اذن نضع كتلة اختبارية فى هذه النقطة..ثم نتصور سطح كرة كبيرة تمر عبر هذه النقطة و مركزها هو مركز ثقل توزيع الكتلة...
-الكرة التى تصورناها هى كرة فى d بعد...هل يمكن ان تتصوروها?
-الحقل على كل نقطة من هذه الكرة له نفس الطويلة و هو دائما متجه نظاميا و خارجيا للكرة..
-نطبق قانون غوس للثقالة فى الصورة ادناه..اى نحسب تدفق الحقل الثقالى عبر الكرة...بسبب خواص الحقل التى ذكرناها اعلاه فإن التدفق يساوى بكل بساطة طويلة الحقل الثقالى مضروب فى سطح هذه الكرة...نكتب اذن
g*V_{d-1}=4*\pi*G_N*M
حيث G_N هو ثابت نيوتن للثقالة فى d بعد, و g هو الحقل الذى نبحث عنه, و V_{d-1} هو سطح الكرة فى d بعد...
-ماهو سطح الكرة فى d بعد? ...هذا معروف لكن لن اكتب القانون و اكتفى بالقول انه متناسب مع r**(d-1) ...لما نضع d=3 نحصل على مساحة الكرة التى نعرفها...
-اذن الحقل الثقالى g المولد فى d بعد متناسب عكسا مع مساحة سطح الكرة فى d بعد اى مع r**(d-1)..وهو المطلوب الاساسي..
-الان تصوروا ان احد الابعاد الاضافية هو متضام compact..وهذه هى الحالة الاهم...الامر يتعقد اكثر و يصبح اكثر اثارة... لكن اترك هذا الى غاية ان يستثيرنا احدهم فكريا و علميا ...

قانون الجذب العام لنيوتن

أشهر و ربما اقدم قوانين الفيزياء على الاطلاق: قانون الجذب العام لنيوتن الذى ينص على أن القوة بين كتلتين m_1 و m_2 تبعدان عن بعضهما البعض مسافة r تتناسب عكسا مع مربع المسافة اى مع r**2 ...
تصوروا الان لدينا ابعاد اضافية اى اننا نعيش فى فضاء يتميز ب d بعد مكانى عوض ثلاثة ابعاد مكانية...فى هذه الحالة القوة تصبح متناسبة عكسا مع r**(d-1) ...
البحث التجريبى عن ابعاد مكانية اضافية يمر اذن عبر البحث عن تعديلات ممكنة لقانون الجذب العام لنيوتن ادناه...اى نبحث عن القوة التى تتبعها المسافة هل هى اثنان او شيئ مختلف عن اثنان, وما هو بالضبط هذا الشيئ, ومنه نحدد عدد ابعاد الفضاء المكانية بالضبط...

التضامية compactification

مثال على التضامية compactification احدى الافكار الاساسية فى نظرية الاوتار string theory..من بعيد, اى من المسافات البعيدة, فإن الاسطوانة التى هى سطح, اى فضاء ببعدين, تظهر على شكل على شكل خط, اى فضاء ببعد واحد, اذن الابعاد الاضافية التى تأتى بها نظرية الاوتار الممتازة superstrings, وعددها ستة, يحدث لها هذا الامر: نحن لا نراها لانها صغيرة جدا او لاننا نحاول ان نراها من مسافات بعيدة فلهذا لا تظهر لنا..

نظرية الاوتار او السحر الذى يُراد ان يُمارس على الساحر?

نظرية الاوتار string theory او نظرية كل شيئ theory of everything كما يدعى خليفة نيوتن و اينشتاين الفيزيائى الاول الان ويتن Witten...
او السحر الذى يُراد ان يُمارس على الساحر?
-فى هذه النظرية الهائلة-والكلمة لا تعبر حقيقة على حقيقتها- نفترض ان الجسيمات او بالاحرى درجات الحرية الاساسية فى الكون ليست نقاط لكن هى اوتار, يمكن ان تكون مفتوحة او مغلقة...فى الصورة ادناه نعتبر وتر مغلق...
-ثانيا نطبق قوانين النسبية, عامة و خاصة فى هذه الحالة, و قوانين الفيزياء الكمومية..نكتشف انه ليس لدينا نظرية حقل و لا نظرية نقطة بل نحصل على نظرية وتر...
-ثالثا نكتشف انه لدينا عدد هائل من التناظرات التى تتمتع بها هذه الجملة..لدينا كالعادة تناظرات بوانكريه Poincare و لورنز Lorentz العادية, التى نعرفها فى نظرية الحقل-مثل الانسحابات و الدوارانات و التحويلات النسبية للورنتز-, والتى تتصرف كتناظرات شاملة global..
-رابعا لدينا بالاضافة لكل هذه التناظرات العامة اعلاه, تناظرات موضعية local symmetries , هى بالضبط التناظرات المعيارية gauge symmetries للنسبية العامة فى بعدين و التى تسمى ايضا بالتحويلات الامتثالية conformal transformations, و ايضا لدينا تناظر معيار اضافى يسمى تحويل وايلWeyl , الذى يعنى بكل بساطة ان تعريف الطول فى الفضاء غير مطلق...عدد هذه التحويلات الموضعية المعيارية هو غير منته..
-تكميم الجملة يمر عبر تتثبيت fixing التحويلات المعايرية الموضعية و التى يمكن القيام بها بعدة طرق..هذا التثبيت يمكن اجراؤه بحيث يتم تبسيط نظرية الوتر الى اقصى حد..وهذا ما نفعله..
-بعد التكميم نكتشف اننا فقدنا التناظر تحت تأثير تحويلات لورنتز الا اذا افترضنا ان بعد الفضاء يأخذ قيمة معينة هى بالضبط 26...هذه القيمة تسمى البعد الحرج critical dimension , وفقط فى هذه القيمة يمكننا الحفاظ على تحويلات لورنتز النسبية والدورانات كتناظرات للجملة....وهذه طلبية معقولة و مقبولة جدا..
اذن الوتر ينتشر فى 25 بعد مكانى و بعد زمانى واحد... اى انه بالنسبة لنظرية الوتر, التى هى اكثر النظريات اساسية, المكان يجب ان يتكون من 25 بعد, و نحن نرى منها ثلاثة اما الاخرى فهى ملتوية على نفسها و صغيرة جدا لهذا لا نراها او هكذا يقولون ...
-نحسب طاقة الجملة: اى طاقة الوتر المغلق الذى هو الاهم..فنكتشف شيئا خارقا للعادة و هو نقطة قوة النظرية فى رأيى..طيف الوتر فى حقيقة الامر مشكل من جسيمات..اذن هذا ممتاز: استرجعنا الجسيمات التى نراها فى الواقع...
لكن الحالة الاساسية هو جسيم كتلته سالبة و هذا يسمى طاكيون tachyon..لكن هذه الحالة يمكن جعل طاقتها صفر بادخال ما يسمى التناظر الممتاز suersymmettry..اذن هذه ازمة محلولة الى حد ما, وعندما ندخل التناظر الممتاز نكتشف ايضا ان البعد الحرج ينخفض من 26 الى 10 ...اذن فى المحصلة التناظر الممتاز شيئ ايجابى للنظرية لا يمكن انكاره...
الحالة المثارة الاولى فى الطيف تكتشف انها مشكلة من الحقل المعيارى الذى نعرفه فى الجسيمات الأولية مثل حقل الفوتون photon و الغليونات gluons و غيرها من الحسيمات البوزونية bosonic particles الناقلة للقوة...
الحالة المثارة الثانية تتشكل-وهذه هى المفاجأة الكبرى السارة- من الجرافيتون graviton و هو الجسيم الناقل للقوة الثقالية..اذن حصلنا على الثقالة الكمومية و هم يمكنهم الاحتجاج ان هذه النظرية هى الوحيدة التى تفعل ذلك..
نحصل ايضا فى الحالة المثارة الثانية على جسيم سلمى scalar particle يسمى ديلاتون dilaton و هو الذى يعطى قوة تفاعل الاوتار..اذن النظرية تحدد لنفسها بنفسها قوة تفاعلاتها و لا نحتاج ان نحدد لها ذلك من الخارج....اذن هذا ايضا ممتاز لا شك..
الحالة المثارة الثانية تحتوى ايضا على حقل معيارى هو تعميم للحقل الكهرومغناطيسى و هذا يمكن ان يؤدى فيمابعد الى ان بنية الفضاء-زمن غير تبيديلية noncommutative مثل تلك التى اكتشفها الرياضى الفرنسى كون Connes فى الثمانينيات, عكس ما تنص عليه الهندسة التفاضلية لريمان Riemann differnetial geometry..
ثم يأتى بقية الطيف...
فى الصورة ادناه نبى نظرية الاوتار الفيزيائى الاشهر ويتن Witten الذى اتانا بكل هذه المعجزات فلم نصدقه وقلنا له و مازلنا نقول: اتريد ان تسحر عين الساحر?...لاننا على ما يبدو لم يدخل الايمان فى قلوبنا بعد..ادعوا لنا اذن بالهداية....

قانون الغاز المثالى

قانون الغاز المثالى و هو الغاز الذى تكون درجة حرارته T غير قريبة من الصفر المطلق و ضغطه P غير مرتفع و بالتالى فان التفاعلات بين جزيئاته تكون مهملة..فى المعادلة فى الصورة الاولى: V هو حجم الغاز و n عدد مولاته ..حيث ان المول يحتوى على عدد افوغادرو Avogadro من الجسيمات -الصورة الثانية-..اما R الذى يظهر فى قانون الغاز المثالى فهو ثابت الغاز -الصورة الثالثة-..قانون الغاز المثالى يسمى ايضا معادلة حالة الغاز المثالى....

معادلات ماكسويل

معادلات ماكسويل...هل هى فعلا من كلمات الله?...لانه بسببها كان هناك نور...
الجواب: لا...لكن لا انكر ان الفكرة مغرية..

سحر الساحر او كيف تحسب تكامل برمى الحجارة بشكل عشوائى...

قررت ان اكشف عن بعض سحر الساحر!

العلم و بالخصوص الفيزياء يتبع احد طريقين..اما التجريبى و اما النظري...هذه هى النظرة الكلاسيكية...
لكن توقفوا قليلا هناك طريق ثالث تبلور منذ اقل من خمسين سنة ذلك هو الطريق العددى...و هو خلاف التجريبى و خلاف النظرى..يستعمل الحساب العددى numerical calculation واهم من ذلك اجراء التجربة الافتراضية virtual experiment على الحواسيب الالكترونية على النماذج الرياضية للفيزياء النظرية... و ادواته هى التحليل العددى, علوم الحاسوب, نظرية الخوارزميات algorithms و التشفير coding و لغات البرمجة, و قبل كل ذلك الفهم الفيزيائى التجريبى و النظرى للمسائل المبحوث فيها...هذا علم لم يعد بالامكان الاستغناء او حتى تصور الاستغناء عنه...
التجربة الافتراضية يعنى محاكيات مونتى كارلو Monte Carlo simulation و محاكيات مونتى كارلو يعنى الاعداد العشوائية...
الان ماهى اهم المسائل التى نريد حلها?...
بكل بساطة حساب التكاملات...
التكاملات التى تحتاجها الفيزياء النظرية هى تكاملات ذات ابعاد هائلة و ربما لانهائية...محاولة حساب هذه التكاملات بالحساب العددى العادى يعنى بكل بساطة ان الخطأ المرتكب يزداد مع البعد بشكل هائل مثل n**(-1/d) حيث n هو عدد الخطوات و d هو البعد...اذن عندما يزداد البعد, تزداد عدد الخطوات اكيد, لكن فى نفس الوقت يزداد الخطا...الحل هو طريقة مونتى كارلو التى يكون فيها الخطا مهما كان بعد التكامل هو واحد على الجذر التربيعى ل n ...هل ترون و تعوُن الفرق الهائل بين الحالتين!!!!!!!!!!!!!!

كمثال لنعتبر تكامل الدالة f(x) من a الى b.
ابسط طرق مونتى كارلو لحساب هذا التكامل هى طريقة -ان تصيب او تخيب hit or miss- لاحد عباقرتهم: فون نيومان Von Neumann وتعتمد على الاتى:
-حدد القيمة الاعظمية c ل f(x)
-ارسم مستطيل حول السطح الذى تحدده الدالة طوله b-a و عرضه c
-اختر n زوج من الاعداد العشوائية (x_i,y_i) حيث x_i بين 0 و b-a و y_i بين 0 و c
-احسب عدد الازواج n_in التى تقع داخل السطح..
-التكامل اذن يعطى-وهذه يمكن ان نبرهن عليها-ب
I=(b-a)*c*n_in/n
اذن التكامل متناسب, تحدده بالكامل, عدد الاعداد العشوائية التى لو رميناها على المستطيل لوقعت داخل السطح الذى يحدده منحنى الدالة..ومن هنا اتت التسمية-ان تصيب او تخيب-...
ومن يريد ان يجرب, ولا يحتاج الى حاسوب فى الحقيقة, فليفعل..لكن عليه ان يستعمل الاعداد العشوائىة والا فان الامر لن ينجح...وهذا هو الجزء الاخير من السحر الذى لن اذكره والا حُوربت فعلا من باقى زملائى السحرة!!!!

الاعداد العشوائية

الله فقط يمكنه ان يخلق العشوائية الطبيعية المحضة و الطبيعة تتحدى العلم او الانسان ان يفعل!

اى حساب مبنى على طريقة مونتى كارلو Monte Carlo يحتاج الى اعداد عشوائية...الاعداد العشوائية لا يمكن ان تُنتجها الا الطبيعة لكن الحصول عليها صعب جدا و غير متيسر..البديل هو الاعداد شبه العشوائية التى تُولدها خوازميات رياضية حتمية...هذه الاعداد ليست عشوائية حقيقة لكنها يجب ان تنجح فى المرور عبر عدة اختبارات حتى تصبح مقبولة فى الحسابات و لهذا تسمى اعداد شبه عشوائية..هذا امر تقنى معقد لن اتكلم عليه اكثر...
الان نحتاج الى مثال للتوضيح..ابسط مولدات الاعداد العشوائية هى خوارزمية رياضية تعرف بالمولد الخطى المنسجم linear congruential..
-ننطلق من عدد x_0 يسمى البذرة seed اى نقطة الانطلاق...
-نختار عدد a يسمى الضارب multiplier....
-نختار عدد c يسمى الاضافة increment....
-نختار عدد m يسمى الطويلة modulus...كل الاعداد العشوائية ستكون بالضرورة فى المجال بين 0 و m-1 ...وهى بالضرورة تحتوى على دور, اى تتكرر, كما سنبينه فى المثال الحسابى ادناه...
- الخظوة الاساسية هو اننا نولد الاعداد شبه العشوائية بالعلاقة الرياضية
x_n+1=(a*x_n+c) mod m
هذه الكتابة تعنى أننا نأخذ باقى قسمة العدد a*x_n+c على الطويلة m .. اذن الخوارزمية لا تتطلب الا عمليات قسمة بسيطة...

لنأخذ مثلا m=9, a=2, c=0.... والبذرة x_0=1 ...باقى قسمة 2*x_0 على 9 هو 2 اذن x_1=2....باقى قسمة 2*x_1 على 9 هو 4 اذن x_2=4...باقى قسمة 2*x_2 على 9 هو 8 اذن x_3=8 ..باقى قسمة 2*x_3 على 9 هو 7 اذن x_4=7...باقى قسمة 2*x_4 على 9 هو 5 اذن x_5=5...باقى قسمة 2*x_5 على 9 هو واحد اذن x_6=1...
نلاحظ ان العدد العشوائى السادس هو نفسه البذرة اى العدد العشوائى الاول و بالتالى سلسلة الاعداد العشوائية ستتكرر من هنا..هذا هو ما يسمى بدور المولد العشوائى وهو دائما موجود واقصى قيمة-التى هى الوضعية التى نريدها- يمكن ان يأخذها هى الطويلة m ..اذن من الواضح ايضا اننا نريد ان يكون m اكبر قيمة يمكن ان يتحملها الكمبيوتر...
بالنسبة للمثال اعلاه تحصلنا اذن على الاعداد شبه العشوائية التالية:
1,2,8,7,5
فى المنشور القادم سأريكم كيف نستعمل هذه السلسلة فى حساب مونتى كارلو لتكامل بسيط...
امثلة اخرى عن سلاسل اعداد شبه عشوائية مولدة باستخدام المولد الخطى المنسجم بقيم مختلفة للطويلة و البذرة و الضارب و الاضافة موجودة فى الصورة ادناه...