LATEX

The sphere and its rotation group

الكرة و زمرة الدورانات -الجزء الثالث
الكثير ممن يتابع هذه الصفحة يريد ان يدرس التناظر symmetry و الكثير منهم يريد ان يدرس نظرية الزمر group theory و نظرية التمثيلات representation theory و كثير منهم يعرف ان الثانية (نظرية الزمر) هى خادمة للاولى (التناظر).
وهذا الوعى بهذه الاهمية بين الاساتذة و الطلبة المتابعين هو من النتائج الايجابية الملموسة لهذه الصفحة فى دعوة الناس الى الفيزياء الاساسية الصحيحة و الصحية و الالتزام فى الدراسة بالموضوعية و المنهجية الصارمة و الابتعداد عن احلام اليقظة و الاوهام و الخزعبلات العلمية و الخرافات التعليمية.
اقول انه قديما عندما كنا نبدأ بدراسة او بتدريس نظرية الزمر نبدأ بالزمرة SU(2).
و اليوم مازلنا نقوم بنفس الشيء فانه عندما نبدأ بدراسة نظرية الزمر فاننا نبدأ بالزمرة SU(2) فليس هناك مهرب لاسباب ثمانية.
اولا الزمرة SU(2) هى ابسط زمرة غير-أبيلية non-abelian على الاطلاق (على الاقل بين زمر ليه Lie groups وهى الاكثر اهمية للفيزياء). و كل زمر ليه Lie groups الاخرى ستتم دراستها على نفس المنوال.
ثانيا الزمرة SU(2) هى اول زمرة تناظر لنظريات يانغ-ميلز Yang-Mills theories التى اهم نموذج للتناظرات المعيارية gauge symmetries. فقد كانت SU(2) هى اول زمرة معيارية غير-ابيلية اكتشفها يانغ Yang و ميلز Mills فى اوائل الخمسينات.
وقد بلغ يانغ اليوم 99 سنة من العمر وهو مازال يطالب بجائزة نوبل ثانية من اجل هذا الاكتشاف وهو يستأهله فعلا فالامر ليس هينا ابدا. فنظريات يانغ-ميلز تدخل فى صلب الثنائية الثقالية-المعيارية التى اهم اكتشافات نظريات الاوتار الممتازة.
و قد حصل يانغ على نوبل فى اواخر الخمسينات من اجل اكتشاف ما يسمى غصب violation تناظرات ال CP كشفا نظريا و تجريبيا (فهو مشارك فى الاتجاهين) وهذا نادر جدا جدا.
وهذا الغصب لهذا التناظر كان يرفضه الفيزيائى الساحر باولى رفضا قاطعا و لما تأكد الامر تجريبيا و نظريا قال باولى (السؤال يبقى لماذا ارتأت الطبيعة ان تغصب هذا التناظر). و الغصب فيزيائيا يعنى الكسر الشديد و ليس الصغير للتناظرات المتقطعة discrete symmetries الثلاثة C و T و CP.
اذن يانغ اخذ نوبل على غصب ال CP و يريد نوبل اخرى على نظريات يانغ-ميلز المعيارية.
ثالثا الزمرة SU(2) هى احدى الزمر المعيارية gauge goups الثلاثة التى تظهر فى النموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية. وهى الزمرة الوحيدة من بينهم التى تخضع للانكسار التلقائى للتناظر spontaneous symmetry breaking بسب ارتباطها بالقوة النووية الضعيفة التى تصف الظواهر الاشعاعية لبيطا beta radioactivity.
رابعا الزمرة SU(2) هى زمرة السبين (عزم-اللف) و هى بالتالى الغطاء-المضاعف double-cover للزمرة الدورانية SO(3) فى ثلاثة ابعاد. اما فى اربعة ابعاد فان جبرية زمرة لورنتز Lorentz group لتناظرات فضاء-زمن مينكوفسكى Minkowski spacetime تساوى جمع مباشر direct sum لنسختين من جبرية su(2).
خامسا الزمرة SU(2) هى زمرة تناظر الايزوسبين isospin symmetry -وهى زمرة تناظر تقريبية ليست مضبوطة لكنها تسمح لنا بالنظر الى البروتون و النوترون او الكوارك u و الكوارك d على انهما جسيم واحد بالنسبة للقوة النووية القوية اللونية strong nuclear color force-.
سادسا الزمرة SU(2) هى زمرة التناظر الاساسية للثقالة الكمومية الحلقية loop quantum gravity و قد قدمتها الصائفة الماضية.
سابعا الزمرة SU(2) هى الزمرة الاساسية للكرة غير-التبديلية التى تعرف ايضا باسم الكرة الغائمة fuzzy sphere التى اهم فضاء غير-تبديلى non-commutative space فى الهندسة غير-التبديلية non-commutative geometry التى هى مقاربة اخرى للثقالة الكمومية تمتزج فيها نظرية الاوتار الممتازة مع برنامج كون Connes للهندسة التفاضلية.
سابعا التمديد المركب للزمرة SU(2) الحقيقية المتضامة real compact هى الزمرة SL(2,R) المركبة غير-المتضامة complex non-compact التى هى زمرة التناظر الاساسية لنظرية الاوتار الممتازة. هذه الزمرة ترتبط بالزمرة الدورانية SO(2,1) لشبه-الكرة pseudo-sphere التى هى الدوران الاقليدى Euclidean rotation لفضاء دى-سيتر-العكسى anti-de Sitter space فى بعدين AdS2.
فى هذا الفيديو اعدت محاضرة الامس بخط اكبر و شرح اوفى اقدم فيه الزمرة SU(2) و تمثيلاتها.
من اراد ان يفهم فليتابع. يصعب جدا فهم هذه الامور من المراجع مباشرة للمبتدئ.

No comments:

Post a Comment