من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى الى الثنائية الثقالية/المعيارية..

من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى الى الثنائية الثقالية/المعيارية..
أجيب عن اربعة اسئلة:
1-لكن كيف نصل من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى?
2-لكن ماهو فضاء دى سيتر العكسى الذى يلعب دورا استراتيجيا فى نظرية الاوتار?
3-لكن ماهو المعنى الفيزيائى للاحداثية العمودية z?
4-لكن ماهى قوة فضاء دى سيتر العكسى ودوره الحقيقى فى الثنائية الثقالية/المعيارية?
لكن كيف نصل من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى?
قارنوا بين الخط المستقيم و الدائرة و القطع الزائد hyperbolas..
الآن تصوروا هذه الاشياء فى ابعاد عليا ..
نحصل على الفضاءات الاقليدية, الكرات و الفضاءات الزائدية hyperboloids كتعميم للخط المستقيم و الدائرة و القطع الزائد على التوالى..
بطييعة الحال اذا تصورنا الكرة عبارة عن حالة خاصة من القطع الناقص فان التعميم هو فضاء ناقصى ellipsoid..
فى الصورة الاولى نرسم القطع الزائد, فى الصورة الثانية نرسم الفضاء الزائدى بصفحة واحدة one-sheeted hyperboloid و فى الصورة الثالثة نرسم الفضاء الزائدى بصفحتين two-sheeted hyperboloid..
هذه الفضاءات الزائدية توجد فى أى عدد من الابعاد و ليس فقط فى بعد واجد (القطع زائد) او فى بعدين (الفضاء الزائدى فى الصورة)..
وايضا فان كل هذه الفضاءات الزائدية هى مغروسة embedded فى فضاء اقليدى اعلى اى ببعد اضافى..فمثلا نرسم القطع الزائد فى المستوى و الفضاء الزائدى الذى فى الصورة هو مرسوم فى الفضاء الثلاثى..وهذا ما نفعله ايضا فى الابعاد العليا-اى دائما نغرس هذه الفضاءات المنحنية فى فضاء اقليدى اعلى- رغم انه فى تلك الحالة سيتعذر اى يستحيل علينا الرسم..
الآن أدعوكم الى تصور غرس او وضع الفضاءات الاقليدية و الكرات و الفضاءات الزائدية ليس فى فضاء اقليدى لكن فى فضاء لورنتزى -اى نأخذ النسبية بعين الاعتيار- حيث يصبح الزمن مختلف عن المكان و يأتى باشارة مضادة فى المترية metric...والمترية للتذكير هو القانون الذى يسمح لنا بحساب المسافة فى اى فضاء او فضاء-زمن...
فى هذه الحالة نحصل على الفضاءات اللورنتزية التالية:
-فضاء-زمن مينكوسفكى
-فضاء-زمن دى سيتر
-فضاء-زمن دى سيتر العكسى
كتعميم للفضاء الاقليدى, للكرات (الفضاءات الناقصية) و الفضاءات الزائدية على التوالى..
و لورنتز Lorentz و مينكوفسكى Minkowski و دى سيتر de Sitter هم الرياضيون/الفيزيائيون اللذين اكتشفوا هذه الفضاءات او بالاحرى اكتشفوا قيمتها الاستراتيجية بالنسبة للفيزياء...
هذه الفضاءات-زمن الثلاثة (مينكوسفكى, دى سيتر و دى سيتر العكسى) تحل كلها معادلات اينشتاين وهى متناظرة قصويا maximally symmetric..
فضاء-زمن مينكوسفكى هو فضاء النسبية الخاصة العادى فهو اذن فضاء مسطح flat..
فضاء-زمن دى ستير (تعميم الكرة او القطع الناقص الى فضاء لورنتزى) فهو فضاء منحنى بانحناء سلمى scalar curvature موجب..هذا يعنى انه فى هذا الفضاء مجموع زوايا مثلث يكون اكبر من 180 درجة...
فضاء-زمن دى سيتر العكسى (تعميم القطع الزائدى الى فضاء لورنتزى) هو فضاء منحنى بانحناء سلمى سالب..هذا يعنى انه فى هذا الفضاء مجموع زوايا مثلث اصغر من 180 درجة..
لكن ما هو بالضبط فضاء-زمن دى سيتر العكسى الذى يعلب دورا استراتيجيا فى نظرية الاوتار?..
أعطى وصفين: وصف كونى global description و رقعة بوانكريه Poincare patch (و بوانكريه هو فيزيائى/رياضى عظيم أخر)..
- فى جملة الاحداثيات الكونية -التى تغطى كل فضاء دى ستير العكسى- فان هذا الفضاء يمكن ان نتصوره كأسطوانة..الزمن ناقص لا نهاية هى القاعدة السفلية لهذه الاسطوانة و الزمن زائد لا نهاية هى القاعدة العلوية اذن الزمن يجرى من الاسفل الى الاعلى..
محور الاسطوانة هو مركز فضاء دى سيتر العكسى اما جدران الاسطوانة فهى حد boundary فضاء دى ستير العكسى و هو حد كونفورمال conformal boundary...
اذن الذهاب من المركز الى الحد يتم عبر أخذ نصف قطر الاسطوانة من 0 الى قيمته العطمى وتساوى نصف pi\ ..
الدوران حول مركز الاسطوانة يتم عبر الزوايا -فهناك d-1 زاوية فى حالى فضاء دى سيتر فى بعد d+1- التى تصف فضاء دى ستير العكسى..انظر الصورة الرابعة..
- جملة احداثيات بوانكريه - تغطى كل فضاء دى سيتر العكسى فقط بعد تدوير ويك Wick rotation نحو الفضاء الاقليدى التى هى خطوة تقنية ضرورية جدا لتعريف نظرية الحقل-..
فى هذه الجملة نصف فضاء دى سيتر العكسى كتوريق foliation لفضاء مينكوفسى على محور قطرى..بمعنى تصور انه لدينا مجور عمودى z..من اجل كل نقطة على هذا المحور يوجد فضاء-زمن مينكوسفكى بأكمله عمودى للمحور العمودى z فى تلك النقطة..
الفضاء-زمن المينكوفسكى الموجود عند النقطة z=0 هو بالضبط الحد الكونوفورمال لفضاء دى ستير العكسى...
اما عندما تذهب الاحداثية z الى ما لا نهاية فاننا نحصل على افق horizon لفضاء دى ستير العكسى..هذا يعنى ان جملة احداثيات بوانكريه تنتهى فى هذه النقطة و ليس ان الفضاء نفسه ينتهى..
لأن فضاء دى ستير العكسى هو فضاء غير متضام non compact اى لا نهائى (رغم انه يتميز بنصف قطر) لكنه فضاء محدود كونفورمالى من جهة بحد ..هذا الحد هو نفسه فضاء-زمن مينكوسفى مكتمل..
المترية metric لاهميتها القصوى موجودة فى الصورة الخامسة...حيث ان L هو نصف قطر فضاء دى سيتر العكسى..
لكن ماهو المعنى الفيزيائى للاحداثية العمودية z?
الاحداثية z تعلب بالضبط دور سلم طاقوى energy scale بالمعنى الموجود فى نظرية معادلة اعادة التنظيم theory of renormalization group equation..اذن z يعطى الشبكة lattice التى تُعرف الفضاء-زمن المينكوسفكى الموجود عند تلك الاحداثية..وتذكروا فان الذى يُعرف نظرية الحقل لا-اضطرابيا non-perturbatively هو الشبكة المتقطعة و ليس الفضاء-زمن المستمر..اذن الاحداثية z هو بالضبط الفسحة الشبكية lattice spacing التى تعرف الشبكة..اى ان الفضاء-زمن عند النقطة z هو شبكة بفسحة تساوى بالضبط a=z اى بين كل نقطة و نقطة فى هذه الشبكة فى اى تجاه توجد مسافة a=z..
الذهاب الى الحد الكونفورمال z=0 يعنى اذن اخذ الفسحة الشبكية الى الصفر و هذا بالضبط ما يُعرف النهاية المستمرة continuum limit للشبكة ونظرية الحقل التى تعيش عليها..
اذن قيم الحقل الكمومى على الحد z=0 هى بالضبط قيم الحقل المستمرة (اى القيم الميكروسكوبية المعرفة فى الطاقات العليا اى عند ما فوق البنفسجى او ال UV)...
انظر الصورة السادسة..
وهذا الذى ذكرته آخرا رغم صعوبته هو المحور و المرتكز...
لكن ماهى قوة فضاء دى سيتر العكسى ودوره الحقيقى فى الثنائية الثقالية/المعيارية?
القوة العظمى لفضاء دى سيتر العكسى تكمن فى الآتى:
-اولا فضاء دى ستير العكسى (مثلا فى بعد d+1) يتميز بزمرة تناظرات ايزومترية isometries (التى تحفظ المترية) يُرمز لها ب SO(2,d) هى بالضبط الزمرة الكونفورمال للفضاء-الزمن المينكوفسكى فى البعد d الذى يقع فى الحد الكونوفرمال لفضاء دى ستير العكسى..
-ثانيا و اكثر من هذا فان عدد درجات حرية النظرية الثقالية التى تعيش فى فضاء دى ستير العكسى يساوى بالضبط عدد درجات حرية النظرية الكمومية غير الثقالية (وهى نظرية حقل كونفورمال) التى تعيش على الحد الكونفورمال لفضاء دى ستير العكسى الذى كما قلنا هو فضاء مينكوفسكى عادى...وهذا هو اكثر أمثلة المبدأ الهولوغرافى holographic principle دقة فى الفيزياء ..
-ثالثا واكثر من هذا فان دالة تقسيم النظرية الثقالية التى تعيش فى فضاء دى سيتر العكسى ذو البعد d+1 تساوى بالضبط دالة تقسيم النظرية الكونفورمال التى تعيش على الحد ذو البعد d الذى هو فضاء مينكوفسكى..
وتذكروا ان دالة التقسيم (وهى ايضا ما يعرف فى نظرية الحقل بتكامل الطريق) تعطى الحالة الاساسية ground state و كل دوال الربط correlation functions -اى كل شيء تريد ان تحسبه نظرية الحقل-..
اذن لدينا هنا نظرية كمومية للثقالة تعيش فى فضاء دى سيتر العكسى اين يمكن جساب اى شيء عنها انطلاقا من النظرية الكمومية الكونفورمال التى تعيش على حد فضاء دى دى سيتر العكسى الذى هو فضاء مينكوفسكى عادى فى عدد ابعاد اقل بواحد..
-رابعا نشير ان داخل فضاء دى ستير العكسى يسمى الحجم bulk بمقابل حد boundary فضاء دى سيتر..فى هذا الحجم تعيش حقول يتحكم فيها كما ذكرنا فعل action ثقالى... القيم الميكروسكوبية لهذه الحقول الحجمية فى ال UV (اى فى النهاية المستمرة التى شرحناها اعلاه) تعطى بالضبط قيم الحقل الذى يعيش على الحد الكونفورمال لفضاء دى سيتر العكسى..
هذه النقاط الأربعة هى ما يُعرف بالثنائية الثقالية/ المعيارية gauge/gravity duality...
وهى من اعظم انجازات نظرية الوتر قاطبة و لربما هى الثورة الثالثة فى الفيزياء النظرية منذ عهد الثورة النسبية لاينشتاين و الثورة الكمومية لبور و اصحابه فى بدايات القرن الماضى..
فهى فى رأيى -وهو ليس رأيى بل رأى الكثيرين جدا من المختصين و غير المختصين- انجاز اعظم من انجاز النموذج القياسى للجسيمات الاولية و النموذج القياسى للكوسمولوجيا..




Comments