LATEX

سحر الساحر او كيف تحسب تكامل برمى الحجارة بشكل عشوائى...

قررت ان اكشف عن بعض سحر الساحر!
العلم و بالخصوص الفيزياء يتبع احد طريقين..اما التجريبى و اما النظري...هذه هى النظرة الكلاسيكية...
لكن توقفوا قليلا هناك طريق ثالث تبلور منذ اقل من خمسين سنة ذلك هو الطريق العددى...و هو خلاف التجريبى و خلاف النظرى..يستعمل الحساب العددى numerical calculation واهم من ذلك اجراء التجربة الافتراضية virtual experiment على الحواسيب الالكترونية على النماذج الرياضية للفيزياء النظرية... و ادواته هى التحليل العددى, علوم الحاسوب, نظرية الخوارزميات algorithms و التشفير coding و لغات البرمجة, و قبل كل ذلك الفهم الفيزيائى التجريبى و النظرى للمسائل المبحوث فيها...هذا علم لم يعد بالامكان الاستغناء او حتى تصور الاستغناء عنه...
التجربة الافتراضية يعنى محاكيات مونتى كارلو Monte Carlo simulation و محاكيات مونتى كارلو يعنى الاعداد العشوائية...
الان ماهى اهم المسائل التى نريد حلها?...
بكل بساطة حساب التكاملات...
التكاملات التى تحتاجها الفيزياء النظرية هى تكاملات ذات ابعاد هائلة و ربما لانهائية...محاولة حساب هذه التكاملات بالحساب العددى العادى يعنى بكل بساطة ان الخطأ المرتكب يزداد مع البعد بشكل هائل مثل n**(-1/d) حيث n هو عدد الخطوات و d هو البعد...اذن عندما يزداد البعد, تزداد عدد الخطوات اكيد, لكن فى نفس الوقت يزداد الخطا...الحل هو طريقة مونتى كارلو التى يكون فيها الخطا مهما كان بعد التكامل هو واحد على الجذر التربيعى ل n ...هل ترون و تعوُن الفرق الهائل بين الحالتين!!!!!!!!!!!!!!
كمثال لنعتبر تكامل الدالة f(x) من a الى b.
ابسط طرق مونتى كارلو لحساب هذا التكامل هى طريقة -ان تصيب او تخيب hit or miss- لاحد عباقرتهم: فون نيومان Von Neumann وتعتمد على الاتى:
-حدد القيمة الاعظمية c ل f(x)
-ارسم مستطيل حول السطح الذى تحدده الدالة طوله b-a و عرضه c
-اختر n زوج من الاعداد العشوائية (x_i,y_i) حيث x_i بين 0 و b-a و y_i بين 0 و c
-احسب عدد الازواج n_in التى تقع داخل السطح..
-التكامل اذن يعطى-وهذه يمكن ان نبرهن عليها-ب
I=(b-a)*c*n_in/n
اذن التكامل متناسب, تحدده بالكامل, عدد الاعداد العشوائية التى لو رميناها على المستطيل لوقعت داخل السطح الذى يحدده منحنى الدالة..ومن هنا اتت التسمية-ان تصيب او تخيب-...
ومن يريد ان يجرب, ولا يحتاج الى حاسوب فى الحقيقة, فليفعل..لكن عليه ان يستعمل الاعداد العشوائىة والا فان الامر لن ينجح...وهذا هو الجزء الاخير من السحر الذى لن اذكره والا حُوربت فعلا من باقى زملائى السحرة!!!!

No comments:

Post a Comment